v--+--e--(q-1)--R_--v--=--(D+--e)--u--+--e--(q-1)--u--=--_,
то есть v - собственная функция оператора A. Верно и обратное.
Теорема 3 Если e О F - собственное значение оператора A(l), а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное значение e является резонансом волновода.
Если e лежит на главном листе F, то оно является собственным значением волновода и его кратность как собственного значения оператора A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных функция волновода.
Более того собственной функции v отвечает собственная функция волновода u=R0(e) v , а функции v1, присоединенному к собственной функции v оператора A(l), отвечает функция
u1--=--R_(e)--v1--+--R_ў(e)--v--,
присоединенная к собственной функции волновода u=R0(e) v.
Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора A, то существует не только собственная функция v О--L2(Wў), удовлетворяющая задаче
v-----A(e)--v--=--_,
но и u = R0(e) v , являющееся обобщенным решением задачи (13). По определению это означает, что e является резонансом волновода.
Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u является собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e.
Покажем, что функция
u1--=--R_(e)--v1--+--R_ў(e)--v
является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех w О--CҐ0 (W) во-первых,
((D+e--q)--w,--R_--v1)--=--((D+e)--w,--R_--v)--+(w,--e--(q-1)--R_--v)--=
=--(w,--v1--+--e(q-1)R_--v1)--=--(w,--Aў(e)--v)--=
=---(w,--(q-1)R_--v--+--e--(q-1)R_ўv),
((D+--l)--w,--R_(l)--v)--=--(w,--v)
верно соотношение
((D+--l)--w,--R_ўv)--=-----(w,--R_--v)
и поэтому
((D+--eq)w,--R_ўv)=(w,--e(q-1)R_ўv-----R_--v).
Складывая эти равенства, получим
((D+--eq)--w,--u1)--=---(w,--(q-1)R_v--+--R_v)=-(w,--q--u).
Значит, u1 действительно является присоединенной функцией.
Однако, из самосопряженности оператора D+ lq при вещественных l следует, что у этих собственных функций нет присоединенных. В самом деле, имеем
(u,(D+--e--q)--u1)--=--((D+--e--q)u,--u1)--=--_--=---(u,--q--u)--not--=--_,
что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно, как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует, а следовательно, не существует и v1, поэтому кратность собственного значения e оператора A равна количеству его линейно независимых собственных функций. По предыдущему между этими функциями и собственными функциями волновода существует взаимно однозначное соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно независимых собственных функций.
Возмущения собственных значений волновода. Пусть при заполнении типа вставки q(x,y) є q0(x) имеется однократное вложенное собственное значение e0 О (a21, a22), тогда соответствующая ему собственная функция имеет вид u(x) yM(y) при некотором M > 1 [4]. Возмутим заполнение малой добавкой eq1(x,y), где параметр e характеризует малость, то есть рассмотрим волновод с заполнением q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y). Тогда в силу двух последних теорем точка e0 главного листа римановой поверхности F является однократным собственным значением оператора A(l, e) = - l(q0-1 + eq1) R0(l) при e = 0. В окрестности точки (e0, 0) этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых e у этого оператора имеется собственное значение
e(e)--=--e_--+--e1--e+--...--=--P(e)
и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в равномерно по норме L2(Wў) сходящийся ряд
v(e)--=--v_--+--v1--e+--...--=--P(e)
(Здесь и далее произвольный ряд по целым положительным степеням e будем обозначать как P(e). ) Обоснование этого утверждения дано в приложении.
Поскольку точка l = e0 лежит на границе двух листов поверхности F, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0, в противном случае оно является комплексным резонансом. Так как на главном листе все собственные значения вещественны, то Бe(e) = 0. Это равенство в частности означает, что e1 - вещественное число, то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4 Существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q1(x,y) исходного заполнения q0(x), что e(e) с ростом e становится комплексным резонансом.
Для того, чтобы e(e) не было собственным значением волновода, достаточно, чтобы оно не было вещественным. Предположим противное, что именно, e(e) - вещественное число, тогда оно лежит на границе главного листа и, следовательно, является собственным значением волновода, которому в силу теоремы 2 соответствует собственная функция
u(e)--=--R_(e(e))--v(e)--О--L2.
Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки l = e0 резольвенту R0(l) можно представить в виде суммы оператора
и R01(l) О L(L2(Wў), W 21(W)), регулярного в окрестности l = e0. По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член
R_1(e(e))--=--P(e)--О--L(L2(Wў),--W--21(W))
Относительно первого заметим, что поскольку u(e) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению, лежащему на главном листе, то
(u,--y1)L2(S)--=--_--"x--not--О--Wў
Поэтому если h(x) - CҐ0-ступенька, равная 1 на всем Wў, то
h(x)B(e(e))v(e)--=--B(e(e))v(e)
Но h(x)B(l) - интегральный оператор, ограниченный по норме W21, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e0, поэтому и h(x)B(e(e))v(e) = P(e). Значит, собственная функция u(e) может быть разложена в ряд по степеням e, сходящийся равномерно по норме W21.
Умножив (3) на y1(y) и проинтегрировав по y по всему сечению S, получим
Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом порядке, обозначив
(u1, y1) = u1,1(x),
получим
Для того, чтобы u(x,y;e) принадлежало W 21(W) необходимо, чтобы и u1,1(x) О L2( R1). Но у уравнения
имеется решение из L2 не при любых q1. Но это не согласуется с предположением о том, что u - собственная функция волновода.
Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные собственные значения волновода уходят в общем случае в комплексные резонансы. Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных значений, поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като. Это свойство довольно интересно, поскольку более привычно когда собственное значение уходит в резонанс лишь при возмущении q0 комплексной добавкой, то есть при введении затухания. Однако в [19] это свойство вложенных собственных значений было проиллюстрировано простым примером.
К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких к q0(x), нельзя, поскольку при построенном q1 исчезает лишь одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось могут выходить комплексные резонансы. Оба эти возражения могли бы быть легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные примеры мало что проясняют относительно устройства точечного спектра волновода.
A Приложение: теория возмущений для собственных значений компактной оператор-функции.
Систематическое исследование аналитических свойств компактной оператор-функции (операторного пучка) A(l), регулярной (голоморфной) в некоторой области B, и его резольвенты было предпринято в [18] (см. также [20]). Развитие теории возмущений для квантово-механических задач, заставило изучить зависимость полюсов резольвенты A(l, e) от параметра возмущения e [7],[8],[9]. Однако в этих работах рассматривался случай, когда A(l, e) = V(?)R0(l) и R0(l) имеет в области B полюс первого порядка конечного ранга.
Позже задачи теории дифракции привели к необходимости изучения зависимости полюсов резольвенты регулярной в B функции A(l,--e) от параметра e [12]- [11]. В [11] было показано, что в окрестности полюса резольвенты A(?, 0) лежит полюс резольвенты A(l,--e),--однако до настоящего момента оставалось неясным зависит ли этот полюс от ? аналитически и сохраняется ли его кратность. Неразрешенность этого вопроса не давала возможности применять теорию возмущений. Поэтому, в частности, хотя и построены многочисленные примеры волноведущих систем, обладающих вложенными собственными значениями, [1]-[5], пока не ясно, сохраняться ли эти собственные значения при малых изменениях параметров систем [3], [6].
Для изучения зависимости полюсов от e обычно строят модифицированный определитель Фредгольма d(l,e) для оператора A(l,e) и затем на основании подготовительной теоремы Вейерштрасса доказывют, что решение l(e) уравнения d(l,e)=0 может быть разложено в ряд по дробным степеням e [7].
Однако подавляющее большинство теорем теории аналитических функций, как и их доказательства переносится и на теорию оператор-функций A(l,--e)--[14]. Поэтому естественно ожидать, что тоже верно и для подготовительной теоремы Вейерштрасса. Чтобы понять, как следует изменить ее формулировку разберем сначала случай конечномерного гильбертова пространства, то есть случай, когда A является матрицей.
Итак, рассмотрим в гильбертовом пространстве H оператор A(?,?), голоморфный в области B l-плоскости и в области e < e0. Его резольвента R(l,e), заданная соотношением
[E-----A(l,e)][E--+--R(l,e)]--=--E
согласно [18] является компактным оператором, мероморфным в указываемых областях, причем ее полюса являются собственными значениями оператора A(l,e). Предположим, что при e = 0 в области B имелось только одно собственное значение e0 кратности N. Обозначим далее лежащие в B полюса при заданном e как { e(n)(e)} и попытаемся изучит их как функции от e.
A.1 Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в конечномерном пространстве.
Если гильбертово пространство H является конечномерным, то { e(n)(e)} являются нулями определителя
a--(l,e)--=--|E-----A--(l,e)|,
очевидно голоморфного в рассматриваемых областях. Следуя доказательству A. Картана подготовительной теоремы Вейерштрасса [21], [22], заметим сначала, что в силу теоремы о логарифмическом вычете интеграл
по контуру C, проведенному в близи границы B, всегда равен натуральному числу N(e), которое означает число нулей a (l,e), лежащих внутри C. (Каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.)
C другой стороны s0 (e) - аналитическая функция от e, регулярная в нуле, поскольку при l--О--C найдется такое eў0, что для всех e--Ј--eў0 оператор A(l,--e)--не имеет собственных значений и следовательно
|--a(l,--e)|--і--d-->--_.
Но такая функция может принимать только целые значения тогда и только тогда, когда она тождественно равна некоторой константе N(0)=N. Поэтому в области B при всех достаточно малых ? имеется ровно N собственных значений.
Чтобы выразить { en(e)} как функции e, образуем аналитические функции
При фиксированном e функция
внутри C имеет простые полюса в нулях определителя e(m)(?) c вычетами, равными кратности этих нулей, поэтому
Поэтому по формулам Ньютона можно образовать уравнение
коэффициенты которого являются рациональными функциями от sn, а корни - нулями a, лежащими внутри C.
Остается заметить, что функции sn(?) можно рассчитать и не вычисляя определитель. Именно, поскольку
в силу формулы Якоби определитель
и поэтому в силу a = |E+--R|-1
Таким образом для конечномерного гильбертова пространства H доказана следующая теорема.
Теорема 5 Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B ?? плоскости и в области--e--< e0, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные значения { e(n)(?)} удовлетворяют алгебраическому уравнению
eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0
а sn определяются по формуле (14), причем функции sn(e) = P(e).
(Здесь и далее, как это принято в вейерштрассовской теории функций, P(e) означает произвольный ряд по целым неотрицательным степеням e [23], [24].)
Весьма замечательно, однако, что и в случае бесконечномерного гильбертова пространства, когда определителя a вообще не существует, функции sn (e) существуют и являются аналитическими и теорема 5 остается в силе.
A.2 Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в бесконечномерном пространстве.
Основные понятия теории аналитических функций прямо переносятся на случай оператор-функций, если понимать всюду модуль как норму [14]. Рассмотрим оператор-функцию F(l,--e), равномерно ограниченную константой M и регулярную в области e--Ј r при всех l--О C. Ясно, что можно определить функцию
Покажем, что эта функция регулярна в нуле. В силу теоремы Коши [14]
а значит ряд
мажоруется геометрическим рядом
и является равномерно и безусловно сходящимся при |e| < r. Наконец,
поэтому ряд
стремиться к f(e) равномерно и безусловно при |e| < r, то есть эта последняя функция действительно является регулярной в нуле.
С тем, чтобы распространить теорему 5 на бесконечномерный случай, рассмотрим оператор-функцию
и изучим некоторые ее свойства.
Теорема 6 Оператор P(e) является ортопроектором, зависящим аналитически от e в окрестности нуля. Его след s0(e) есть число собственных значений оператора A(l,--e),--лежащих внутри C, которое не зависит от e.
Покажем сначала, что P(e) зависит аналитически от e в окрестности нуля. Заметим, что при l--О--C и e--Ј--e0/2 функции
A(l,e)--и--R(l,_)
равномерно ограничены. Из соотношения Гильберта
(E+--R--(l,e))--(E---(--A(l,e)---A(l,_))--(E+--R--(l,_)))--=--(E+--R--(l,_))
видно, что и
||E+--R--(l,e)||--Ј--||--E+--R--(l,_)||--||(E---(--A(l,e)---A(l,_))--(E+--R--(l,_)))-1||
Но можно взять столь малое r, что при всех e < r