Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода
А.Н. Боголюбов, М.Д. Малых
119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т, каф. математики;
Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, сведена к интегральному уравнению. Доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи. Показано, что вложенные в непрерывный спектр cобственные значения переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.
Уравнение Du + lqu = f является модельным для описания колебания электромагнитного поля, возбужденные током f, в неограниченной области W, например, волноводе, заполненном неоднородным веществом, характеризуемым функцией q. Будем далее всюду предполагать, что носители f и q-1 ограничены. Говорят, что значения l, для которых существует нетривиальное решение спектральной задачи
принадлежит спектру. Если же, для этого решения
возмущение волновод интегральный уравнение
то есть u О W 21(W), тогда энергия, связанная с колебаниями, ограничена, и говорят, что l - точка точечного спектра или собственное значение. Число независимых решений в случае, когда l - собственное значение, называют кратностью. С физической точки зрения такие поля u(x,y) представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', поэтому их называют еще ловушечными модами. Если же энергия колебаний не ограничена так, что выписанные выше интегралы расходятся, то говорят, что l - точка непрерывного спектра.
При возбуждении колебаний явление резонанса имеет место в точках точечного спектра, а в точках непрерывного спектра имеет место излучение и часто можно доказать, что существует только одно решение, если добавить условия излучения. Это обстоятельство придает особую важность исследованию точечного спектра.
Хотя к настоящему моменту известны примеры волноведущих систем, обладающих вложенными ловушечными модами (вложенными в непрерывный спектр собственными значениями) [1]-[6], необходимые условия появления вложенных мод остается неясными. Поэтому, как отмечалось в [3],[6], целесообразно изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или уходят в комплексные резонансы.
К сожалению, для вложенных собственных значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в [7]-[9], требуется построить резольвенту невозмущенной задачи, поскольку в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу на собственные значения к виду
где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма.
Однако при доказательстве существования решения у задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже была сведена к виду, весьма схожему с (2) ([10] и [11]). Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться этими результатами. Только их следует несколько уточнить, поскольку, во-первых, в этих работах речь шла о бесконечно гладких решениях, а не об обобщенных, и, во-вторых, поскольку не было доказано, что кратность собственного значения исходной задачи совпадает с кратностью собственного значения задачи (2).
В этой работе мы изучим поведение вложенных мод цилиндрического волновода с локально неоднородным заполнением, поскольку в этом случае формальное применение теории возмущений, как отмечалось в [6], указывает на то, что вложенные собственные значения уходят в комплексные резонансы.
Постановка задачи. Рассмотрим волновод
сечения S, представляющего собой односвязную конечную область в R1 или R2. Пусть он заполнен неоднородным веществом, которое характеризуется кусочно-непрерывным заполнением q(x,y). Будем считать, что эта неоднородность локальная, то есть, что
Задачу о возбуждении колебаний током f, локализованным в Wў, можно поставить так
(Решение этой задачи не единственно, так как пока на u не наложены никакие условия излучения.) За обобщенную постановку задачи (3) естественно принять
В [4] было показано, что если
и q0(x) -1 і 0, то у задачи (3) имеется собственная функция u0 (x,y), отвечающая вложенному собственному значению e0 . Попытаемся выяснить, сохраниться ли оно, если мы возмутим это заполнение
где q1 - вещественная функция, а e характеризует малость возмущения.
Резольвента регулярного волновода. Так как резольвента данной задачи не единственна, то выясним сначала ее поведение в простейшем случае полого волновода. В этом случае методом разделения переменных ее можно явно построить, то есть показать, что задача
имеет единственное решение u = R0(l) v, удовлетворяющее парциальным условиям излучения в соответствии с определением:
Определение 1 Пусть ?n2 - собственные значения задачи Дирихле на сечении S. Если при x > b имеет место представление
где gn(l) = Ц{l-an2}, и аналогичное при x < a, то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет (парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника, говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней gn, то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно неравенство
l--О--(a2n, +Ґ) -
Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия излучения называют побочными.
Предположим, что задача (4) имеет обобщенное решение u(x,y) О W 21(W) при данном l. Заметим, что его можно разложить в сходящийся по норме ряд по собственным функциям задачи
на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой задачи (так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания. Подставим тогда в (4) ряд
и получим
Решение этого уравнения при помощи функции Грина можно представить в виде:
где значение корня gn (l) 2 = l---a2n может быть как главным так и побочным. [13]
При x > b имеет место представление
и аналогично при x < a
то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника, к источнику и плоских волн, бегущих вдоль волновода. С физической точки зрения при возбуждении поля u током v волны должны бежать от источника. Это условие означает, что в формуле (8), а значит и в (7), коэффициент Cm должен быть равен нулю, корень gn принимает только главные значения, то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно неравенство
а при l--О--(a2n, +Ґ) -
По тем же причинам, в формуле (9), а значит и в исходной формуле (7), следует взять Cўm=0. В дальнейшим, однако, возникнет необходимость рассматривать случаи, когда конечное число из корней gnимеет побочное значение, тогда условимся говорить, что определенная по формулам (6)- (7) функция u удовлетворяет побочным условиям излучения. Итак, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение задачи (4), если оно вообще существует, имеет вид
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1 Пусть v О L2(Wў) и в формуле (10) все корни gn(l), начиная с некоторого n, имеют главное значение. Тогда ряд для R0(l)v сходится по норме W 21(W) и является обобщенным решением задачи (4). Более того, в этом случае в окрестности любой точки l0 not = a2n, найдется такое N, что N-ый остаток R0N ряда для R0(l) принадлежит L(L2(Wў), W 21(W)) и регулярен там.
Замечание 1 Запись A О L(E, F) означает, что оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово пространство E в подмножество банахова пространства F. [14]
Замечание 2 В [2], [11] разбирался случай, когда v О CҐ0(W). В работе [2] указано, что ряд для R0 v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С, если v О CҐ0(W) и поэтому является классическим решением задачи (4).
Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l0. По условию значения gn(l) становятся главными, начиная с некоторого номера, тогда найдется столь большое N, что Бgn(l) > 0 при n і N. Но любая функция v О L2(Wў) может быть представлена в виде
где vў - функция, ортогональная к y1, ... yN-1. Подстановка
приводит к задаче
У этой задачи существует решение из W 21(W).
В самом деле, в силу теоремы Рисса [15],[16] задача (11) в пространстве
имеет вид
uў+ lA uў = H vў,
где A О L (W 21(W), W 21(W)) и H О L(L2(W), W 21(W)) - ограниченные эрмитовы операторы, причем для любой w О W 21(W)
(w, H v)W21=(w,v)L2 Ј--||w||L2||v||L2
и поскольку ||w||2L2 Ј 4 (diam S)2 ||w||2W21 (см. [17]), получается, что
||--H ||--Ј--2 diam S є h.
При неположительных l0 существует резольвента (E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0. Поэтому справедлива оценка
(w,--(E+lA)-1--H--v)W21--Ј--h--||(E+lA)-1||W21--||v||L2--||w||W21
Это означает, что в окрестности точки l0
(E+lA)-1--H--О--L--(L2(Wў),--W--21(W))
Поэтому в этой окрестности существует решение последней задачи, именно:
uў--=--(E+lA)-1H--vў
а значит, и решение задачи (4), которое, следовательно, имеет вид
С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R0 v, поэтому
R0N(l) = (E+lA)-1 H
и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности l0 оператор функцией, принадлежащей L (L2(Wў), W 21(W)).
Если же a2N > l0 > 0, то отсюда следует, что у задачи (4) имеются решения при l0 + 0i и l0 - 0i, и они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с a2N, а собственных значений у него нет. (Ср. [1]) Значит, и при таких l0 опять существует резольвента (E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0. Повторяя сказанное выше про комплексные l0, видим, что опять
R_N--(l)--=--(E+lA)-1--H--О--L(L2(Wў),--W--21(W))
Сведение исходной задачи к интегральному уравнению. Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является регулярной аналитической функцией на римановой поверхности F с точками ветвления a2n. Весьма замечательно, что ту же риманову поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи.
В самом деле, пусть v О L2(Wў) удовлетворяет задаче
v - A(l) v = f, где A(l)=---l(q-1) R0 (l)
(здесь и далее под ? подразумевается точка римановой поверхности F, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду выбрана одна и та же ветвь R0(l)). Положим
u = R0 (l) v,
тогда в силу теоремы 1
([D+--l]--w,--u)--=--([D+--l]--w,--R_--(l)--v)--=--(R_--(l)*[D+--l]--w,--v)--=
=--(w,--v)--=--(w,-----l[q-1]u--+--f),
то есть u есть обобщенное решение задачи (3). К тому же эта функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в зависимости от выбора значения корней gn в R0(l). Таким образом для построения решения задачи (3), удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить задачу (12). Преимущество же задачи (12) состоит в следующем.
Теорема 2 Оператор A(l) является компактной голоморфной оператор-функцией на римановой поверхности F.
Пусть l0 - любая регулярная точка поверхности F. Из теоремы 1 следует, что R0(l) является суммой конечного числа интегральных операторов вида
и остатка R0N (l) О L(L2, W 21(W)), регулярного в окрестности l0. В силу компактности носителя q-1 операторы
[q(x,y)-1]--[--1/2]R_N--(l)
принадлежат L(L2(Wў), L2(Wў)), являются регулярными в окрестности l0 и, после домножения на компактный оператор [q(x,y)-1][ 1/2], становятся компактными, а следовательно то же верно и для их суммы A (l).
Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [18] следует, что для задачи (12) верна альтернатива: или при данном l задача
v-----A(l)--v--=--f
однозначно разрешима при любой f О L2(Wў), или l является собственным значением оператора A(l), то есть существует нетривиальное решение v О L2(Wў) уравнения
v-----A(l)--v--= 0.
Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с собственными значениями задачи (3), условимся о следующем.
Определение 2 Точка e римановой поверхности F называется резонансом волновода, если существует решение u задачи
(Dw,--u)L2(W)+--e(w,--q--u)--L2(W)--=--_--"w--О--CҐ_--(W)
удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u - собственной функцией; функция u1 называют присоединенный к u, если она является решением задачи
(Dw,--u1)L2(W)+--e(w,--q--u1)--L2(W)--=---(w,--q--u)--"w--О--CҐ_--(W)
Если же резонанс e О F не принадлежит главному листу и его границе, то его называют комплексным.
Замечание 3 Традиция называть резонансы, отличные от собственных значений, комплексными связана с тем, что, как показано в [11], все собственные значения волновода, лежащие на главном листе вещественны (более того положительны), а соответствующие им собственные функции принадлежат L2(W).
Пусть u О L2(W) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e, лежащему на главном листе, тогда эта функция является классическим решением задачи (13), поэтому можно положить v = (D+--e)--u--є-----e--(q-1) u. Значит,