Материал: Теория сетевых войн. Живучесть атакуемых сетей. учеб. пособие. Остапенко А.Г., Калашников А.О

Пять вышеназванных показателей (F, R, f, λ, r) являются функциями времени, каждая из которых полностью характеризует распределение вероятностей, описывающее характер отказов. Если дана лишь одна из этих пяти функций, то, зная её, можно вычислить все остальные. Составляющие выражения представлены в табл. 5.1. Другими важными показателями надёжности являются как называемые моменты и

квантили наработки T. Так , i-й момент ( i =1,2,3,… ) ( ) определяется как математическое ожидание случайной величины ( ):

∞

( ) = E(T ) = t f (t)

∞

101

Таблица 5.1

Здесь предполагается, что lim t(i) RT(t) = 0. Это условие всегда выполняется, если i-й момент существует. Действительно, из неравенства

следует, что последнее выражение стремится к нулю при и →∞ т. е. при существовании несобственного интеграла, представляющего собой i-й момент.

Среди моментов особое значение имеют математическое ожидание наработки (средняя наработка до отказа)

наработки, содержащаяся в математическом ожидании и/или дисперсии, конечно, существенно менее значительна, чем знание любой из пяти вышеназванных функций. В общем случае о распределении наработки можно сделать вывод лишь

по совокупности всех моментов ( ) где i = 1, 2, 3, . .[14] Наряду с моментами для определенных задач имеют

значение и другие числовые характеристики случайных величин, такие, как параметры положения (мода, кривизна,

эксцесс) [47 - 49].

Особенно хорошо подходят для исследования вопросов надежности квантили распределения. Дело в том, что довольно часто необходимо с большой вероятностью гарантировать то,

103

что изделие не откажет в течение некоторого минимального промежутка времени. Корень tр уравнения

Р (Т ≤tр) = р (5.13)

называется p-квантилью распределения случайной величины T(0 < p < 1). В нашем случае это означает, что с вероятностью 1 —p отказ изделия последует в некоторый момент t> . Из (рис. 5.2) следует, что все распределения FT с одинаковыми значениями функции FT (tр) имеют одинаковую р-квантиль. Следовательно, указанием квантилей для различных p фиксируется ход функции распределения FT (t).

Рис. 5.2. p-квантиль tp.

Практика чаще говорит не о квантилях, а о доли отказавших элементов или квоте отказов. Так, если максимальная доля отказавших элементов должна составлять не более 95% за 10 000 ч эксплуатации, то это означает, что квантиль t0.95 должен быть >10 000 ч.

Рассмотрим применение теории восстановления. Теория воcстановления исследует простой класс

регенерирующих стохастических процессов. Рассматривается непрерывно функционирующая однокомпонентная система Х, которая в любой момент времени t≥0 может находиться в двух состояниях: работоспособности(что обозначается как Х(t)=1)b отказа (Х(t)=0)Времена работоспособности отказа интерпретируются как случайные величины [47 - 49].

Теория восстановления накладывает на рассматриваемую систему следующие ограничения .Прежде всего принимается,

104

что восстановления производятся сразу же после отказа безо всякой временной задержки, или точнее,

Кроме того предполагается, что производятся настолько полные и глубокие восстановления, что восстановленную после отказа систему можно считать равноценной новой. С учетом этого формулируются два условия:

1.Положительные случайные величины ,где i = 1,2, … должны быть стохастически независимы. Последовательность

величин с распределениями вероятностей определяет процесс восстановления.

105