Материал: Теория сетевых войн. Живучесть атакуемых сетей. учеб. пособие. Остапенко А.Г., Калашников А.О
Матрицы контурных разделений М1 и М2 обоих графов при выбранных обозначениях замкнутых контуров имеют вид
Отсюда после несложных преобразований находим минимальные сечения и тем самым функцию отказа подсистем
S1=(M1(4))45=28910˅2467810˅1348910˅1367810, S2=(M2(6))67=1610˅28910˅234610˅1348910˅146910˅23791
0˅2467810.
Теперь функцию отказа всей системы
S(x)=15610˅28910˅1348910˅2467810˅1367810˅1457910˅
2345610˅2357910.
96
Структурная схема надежности, представленная на (рис. 4.13), эквивалентна последовательному соединению дополнений минимальных сечений. Последовательнопараллельная система, представленная на (рис. 4.16), имеет одинаковую функцию работоспособности, как и эквивалентная схема 4.13.
Рис. 4.16. Последовательно-параллельная система
97
5. РИСК-МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ЖИВУЧЕСТИ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ
СЕТЕЙ
5.1.Теоретические основы риск-анализа живучести
Вэтом разделе мы будем исходить из того, что изделие в момент времени t = 0 является заведомо работоспособным. (Моментом t = 0 можно считать, например, момент продажи изделия изготовителем, момент истечения гарантийного срока обслуживания и т. д.) Через некоторое время t >0 может произойти отказ изделия, хотя условия для функционирования изделия остаются допустимыми. Мы рассматриваем поведение изделия от момента временя t = 0 до момента его первого отказа. Ни само изделие, ни его отдельные части в это время не должны ремонтироваться, заменяться новыми (или бывшими в эксплуатации). Такие условия функционирования изделия собственно и определяют понятие «изделие без восстановления» (или «невосстанавливаемое изделие») [47 - 49].
Интервал времени от t= 0 до момента t первого отказа назовем наработкой рассматриваемого изделия. Для отдельно выбранного из однородной партии (с одинаковыми условиями изготовления, транспортировки и т, д.) изделия нельзя точно предсказать момент отказа. Случайные факторы, воздействия которых не удается избежать в условиях производства (при фиксированном допустимом уровне затрат, транспортировки и т. д.), сказываются на величине наработки отдельного изделия. Поэтому наработки у совокупности одинаковых изделий есть случайные величины и естественно, что количественное описание процесса функционирования изделий опирается на аппарат теории вероятностей и математической статистики. Такой подход сегодня является общепринятым.
Случайную длительность наработки обозначим T. Её реализации являются неотрицательными числами. Распределение Случайной величины T можно задать, например, с помощью функции распределения
98
FT (t)=P(T≤t) |
(5.1) |
или дополнительной функции (вероятность безотказной |
|
работы) |
|
RT (t)=P(T>t)=1-FT(t) |
(5.2) |
В большинстве случаев под T Понимается непрерывная случайная величина, для которой существует плотность распределения
( ) = |
|
F (t). |
(5.3) |
|
Если наработка Е зависит только от числа циклов включения, то является дискретной случайной величиной.
Функция распределения FT, дополнительная функция RT и плотность распределения fT – каждая однозначно характеризует распределениявероятностей непрерывной случайной величины
T [47 - 49].
Часто возникает вопрос об оценке вероятности отказа в интервале времени (t, t+dt) для изделий которые время t уже отработали. Для этого определяют величину λT(t)dt как вероятность того , что неотказавшие до момента t изделия откажут в интервале (t, t +dt), т.е.
λ (t)dt = |
( |
< |
≤ |
+ | > ) = |
P[(t< |
≤ t+dt)˄(T > )] |
= |
|
|
P[(t < |
≤ t+dt) |
F (T+dt)−F (t) |
P(T > ) |
|
|||
= |
P(T > |
) |
= |
1− F (t) |
|
(5.4) |
||
= |
f (t) |
dt |
, |
|
|
|
|
|
1 −F (t) |
|
|
|
|
||||
Функция λ (t) называется интенсивностью отказов. Она позволяет особенно отчетливо выявлять различия между типами распределения вероятностей. Так, для важнейших распределений наработок (распределения Вейбулла, логарифмически-нормального распределения и гаммараспределения) эти различия при надлежащем выборе параметров распределения проявляются лишь на «концах» самих функций распределения, т, е, при t→∞. График соответствующих плотностей распределения fT вообще не дает
99
заметной разницы. В то же время различие ясно видно по графику интенсивностей отказов [47 - 49].
Иногда нас интересует также функция rT (t), представляющая собой ожидаемую остаточную наработку для изделия, которое безотказно уже отработало время t, Очевидно, эта характеристика относится лишь к таким изделиям, которые до момента времени t не отказали. Распределение наработки этих изделий можно получить из первоначального распределения наработок. Рассмотрим для этого рис. 5.1, где штриховой линией показана возможная плотность распределения наработки fT (х)> Точный ход этой плотности распределения до момента времени t для нас неважен. Часть изделий, которая откажет после момента времени t, опреде-
лится как
∞
f (x)dX = 1 − F (t), |
(5.5) |
Рис. 5.1.Плотность распределения наработки fT(x) и плотность распределения остаточной наработки kT (t, x) для
момента времени t.
Так как для ожидаемой остаточной наработки важна лишь эта часть изделий, то соответствующая плотность распределения определиться следующим образом:
100