Материал: Теория сетевых войн. Живучесть атакуемых сетей. учеб. пособие. Остапенко А.Г., Калашников А.О

Выражения (4.28)-(4.30) характеризуют модель полностью и однозначно. Однако может оказаться, что в действительности функция работоспособности системы вовсе не зависит от некоторых из n булевых переменных. Подобные элементы для поведения системы являются в таком случае несущественными. Точнее, определим их следующим образом: v-ый элемент системы называется несущественным, если

называется существенным.

Систему называют нередуцируемой, если она не содержит несущественных элементов. В противном случае система будет допускать редуцирование [52].

Для краткости будем использовать векторную форму

ТТ

Вчастности, 1=(1, ...,1) и 0=(0,...,0) . Используемые в дальнейшем неравенства между булевыми векторами

определяются следующим образом:

≥,

иразличаются по крайней мере одной компонентой

В качестве вычислительных операций над булевыми переменными ( ,…, ) применяют булево сложение (дизъюнкцию), обозначаемое знаком " ", и булево умножение (конъюнкцию), обозначаемое знаком " ". В таблице 6 приведены результаты сложения и умножения для всех 2n реализаций булева вектора.

Если обе возможные реализации каждой булевой переменной ограничиваются лишь числами 0 и 1, то булево сложение и умножение можно заменить эквивалентными

76

алгебраическими операциями.

Определение операции сложения и умножения в булевой алгебре

Часто оказывается целесообразным наряду с булевой переменной х рассматривают и ее отрицаниепеременную ̅, которая оказывается определенной в той же области значений, что и x; при этом в силу определения ̅реализации х и ̅ никогда не совпадают. В нашем случае ̅= 1− , поскольку реализация булевых переменных есть числа 0 и 1 [52].

4.4.2. Булевы функции работоспособности системы и схемы расчета надежности

Для некоторых классов систем структурную функцию работоспособности S(x)=S( , …, ) можно вычислить

77

достаточно просто. Мы будем наряду с функцией работоспособности системы рассматривать также и

работоспособны. Функция работоспособности имеет вид в

Рис. 4.4. Последовательное и параллельное соединение элементов

Буквы А и Е илиА и Е символически обозначают вход и выход системы [52].

Для второй системы имеем:

-система работоспособна, когда работоспособен хотя бы один из ее элементов. Для функции работоспособности отсюда

элементов соответственно

Рис. 4.5. Последовательное и параллельное соединение элементов

4.4.3. Свойства и представления булевых функций работоспособности систем.

Реализацию х' булева вектора х будем называть путем но работоспособности системы, если S (х') = 1. Реализацию х' булева вектора х будем называть сечением по работоспособности системы, если S(х')=0. Соответственно этому реализация х' булева вектора х называется сечением по

̅'

отказу системы, если (х) = 0. Реализация х' булева вектора х

̅'

называется путем по отказу системы, если (х) =1 [52]. Особое значение имеют так называемые минимальные

пути и минимальные сечения. Реализация х' булева вектора х называется минимальным путем по работоспособности системы, если S(х') =1, но для любой реализации х'', такой, что х'' < х', функция S(х") = 0. Реализация х' булева вектора х называется минимальным сечением по работоспособности системы, если S(х') =0, однако для любой реализации х", такой,

79

что х">х', функция (х') *= 1. Реализация х′ называется

минимальным сечением по отказу системы, если (х′) = 0,

однако для любой реализации х", такой, что х" > х′, функция

(х") = 1. Реализация х′ булева вектора х называется

минимальным путем по отказу системы, если (х′) =1, однако

для любой реализации х" такой, что х" < х" функция S(х") =0. Можно непосредственно проверить, что всякий

минимальный путь (минимальное сечение) по работоспособности оказывается дополнением минимального сечения (минимального пути) по отказу и наоборот. Обозначим общее число минимальных путей и сечений по работоспособности через m и s, а общее число минимальных путей и сечений по отказу — через и ̅. Тогда =s, ̅= m. Знание всех минимальных путей и минимальных сечений позволяет непосредственно получить аналитические выражения для функции работоспособности и отказа системы. Под эквивалентной схемой минимального пути

(эквивалентной схемой дополнения минимального сечения x ) будем понимать последовательное (параллельное) соединение тех компонентов вектора х, которые представлены

вединицами (в x нулями) [52].

Теорема 1а [52]. Эквивалентную схему работоспособности системы можно представить в виде параллельного соединения эквивалентных схем всех

80