Исходным пунктом для построения формальных теорий является построение той предметной области, на которой могут быть интерпретированы теоремы этой теории. Она представляет собой совокупность идеализированных объектов. Согласно теореме Гильберта -Бернайса, теоремы формальной теории не могут быть непосредственно интерпретированы на опытных фактах. Для этого необходимо осуществить идеализацию эмпирического материала, в результате чего он превращается в систему идеализированных объектов. Однако далеко не всегда построение формальной теории начинается с построения системы идеализированных объектов. В процессе теоретического мышления иногда разрабатываются такие теоретические модели, для которых за более или менее длительный период не удается построить предметную область в виде системы идеализированных объектов.
Но если такая система найдена, то, как правило, оказывается, что существуют и другие системы идеализированных объектов, на которых также можно интерпретировать теоремы той же самой теории. Поэтому говорят, что всякая формальная теория отображает бесконечное множество систем объектов, взятых с точностью до изоморфизма.
Классическая формализованная теория строится на основе некоторой совокупности утверждений, аксиом или постулатов. Для античных мыслителей, да и для философов XVII - XVIII веков, различие между аксиомами и постулатами имело принципиальный характер. Ведь аксиома - это истинное утверждение, которое в силу самоочевидности не нуждается в доказательстве, в то время как постулат - это лишь предположение, которое, следовательно, нуждается в доказательстве. Лишь дальнейшее развитие методологии построения формальных теорий показало, что между аксиомами и постулатами нет принципиальной разницы.
Точно так же в теории относительности принимается постоянство скорости света в вакууме и утверждается, что это максимально возможная скорость распространения энергии. В качестве второго постулата утверждается, что все законы физики инвариантны в инерциальных системах, то есть, что никаким физическим экспериментом невозможно установить, находясь внутри данной системы, движется она или покоится, если ее движение равномерно и прямолинейно. Все другие утверждения специальной теории относительности выводятся из этих постулатов и проверяются в эксперименте. Например, замедление времени с увеличением скорости, увеличение массы движущегося тела и т.д.
Для математических теорий область интерпретации их теорем не всегда можно построить. Поэтому нередко проходят десятилетия, прежде чем удается построить область интерпретации для уже созданной формальной теории.
Формальные математические теории делятся на два типа: аксиоматические и генетические или конструктивные. Аксиоматические теории характеризуются тем, что, во-первых, все аксиомы задаются изначально. Более того, система аксиом должна быть полной, то есть в ней можно сформулировать и показать любую теорему, относящуюся к данной предметной области. Во-вторых, для аксиоматической теории либо уже задана ее предметная область в виде совокупности идеализированных моделей, либо такая область может быть задана и даже с необходимостью должна быть построена со временем, как это было, например, с геометрией Н. Лобачевского.
В противоположность этому при генетическом или конструктивном методе предметная область строится в процессе формулировки и доказательства теорем. Причем сам процесс конструирования имеет принципиальное значение. Имеют смысл лишь те утверждения, которые могут быть построены конечным числом операций. Г. Вейль, философски обобщая эту ситуацию, утверждал, что здесь как бы повторяется то движение мысли, которое в философии происходило в античности. Парменид и элеаты настаивали на принципе бытия, то есть существования, а Гераклит - на принципе становления. Аксиоматические теории - это теории существования, а генетические или конструктивные - становления.
Важно подчеркнуть, что, как правило, основные теоремы, которые доказываются в аксиоматических теориях, можно доказать и в генетических. Однако есть и такие теоремы существования, которые принципиально не признаются сторонниками конструктивной математики.
Относительно системы аксиом или постулатов аксиоматической теории устанавливается три главных требования. Во-первых, система аксиом должна быть непротиворечивой, то есть, если в ней выводится некоторое утверждение «А», то в ней не должно выводиться отрицание этого утверждения, то есть «не А». Во-вторых, система должна быть полной, то есть все теоремы данной теории должны в ней выводиться, доказываться. В-третьих, аксиомы должны быть независимым, то есть любую из них можно заменить на альтернативное утверждение и при этом непротиворечивость системы сохранится. Так, Н. Лобачевский заменил утверждение о том, что через точку вне прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, на утверждение, что через такую точку можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной, и получил тем самым так называемую геометрию отрицательной кривизны. Риман заменил ту же аксиому на утверждение, что через точку вне прямой нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной, и получил при этом геометрию положительной кривизны.
По отношению к формальным теориям были доказаны две важнейшие теоремы Геделя. Во-первых, всякая конечная система аксиом неполна, то есть всегда существуют такие теоремы данной теории, которые в этой системе аксиом не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Но из этого следует, что по крайней мере либо данное утверждение, либо его отрицание истинно. Таким образом, не всякое истинное утверждение может быть получено в конечной системе аксиом. Чтобы вывести такое недоказуемое в данной системе аксиом утверждение, необходимо расширить систему аксиом. Но тогда в ней возникают не выводимые утверждения. Таким образом, процесс устремляется к бесконечности и, следовательно, теряет смысл.
Во-вторых, относительно непротиворечивости системы аксиом также доказывается теорема, согласно которой невозможно установить непротиворечивость системы аксиом средствами этой системы или теории, на ней построенной. Следовательно, приходится строить область интерпретации, используя другую теорию, для которой уже установлена ее непротиворечивость. Обычно для этого используют, если речь идет о геометрии, евклидову геометрию, просто потому, что ее непротиворечивость проверена громадной практикой применения. Говоря об этом в общей форме, можно утверждать: для интерпретации теории с целью выявить непротиворечивость, в конечном счете берут такую теорию, истинность которой проверена многообразным применением на практике, что подтверждает ее истинность.
Теоремы Геделя имеют большое значение для понимания теоретического уровня научного мышления. До доказательства этих теорем многие ученые и философы полагали, что теоретическими методами самими по себе можно доказать истинность той или иной теории. Между тем из этих теорем следует, что, оставаясь только в рамках теории, нельзя доказать даже непротиворечивость выведенных в теории утверждений, а это минимальное условие истинности. Следовательно, теория имеет смысл лишь благодаря сопоставлению с эмпирическими фактами. Такое сопоставление может быть как прямым, так и опосредованным, то есть через использование данной теории в другой теории. Например, проверка истинности римановской геометрии была осуществлена построением космологической модели на основе общей теории относительности, которая использует римановскую геометрию.
В отличие от формальных теорий, которые как бы замкнуты в себе и в процессе своего построения используют лишь ту информацию, которая задана системой аксиом и правилами выведения теорем, содержательные теории строятся исходя из результатов наблюдения и эксперимента. Предметная область должна постоянно использоваться для коррекции теоретического построения. Поэтому сопоставление с предметной областью происходит непрерывно в процессе построения теории, и если это требуется по ходу построения, могут вводиться в теорию новые принципы. Таким образом, содержательные теории являются как бы открытыми по отношению к предметной области. Правда, такая ситуация, с одной стороны, упрощает процесс построения теории, а с другой, создает опасность искусственного приближения теории к предметной области. Дело н том, что любую совокупность фактов можно отобразить теоретическим построением. Однако может оказаться., что следующий факт из той же предметной области выявит несостоятельность всего теоретического построения. Поэтому введение нового принципа в теоретическое построение оправдано лишь тогда, когда оно позволяет объяснить не один, а целую серию существенно различных фактов.
Нередко используется так называемый мысленный эксперимент в процессе построения содержательных теорий, например, теории относительности, квантовой механики, в теории информации и т.д. К мысленному эксперименту прибегают тогда, когда стремятся выяснить, как будут действовать установленные закономерности в предельных случаях. Именно предельная ситуация, построенная при помощи идеализации, позволяет непосредственно обнаружить и рассчитать закономерную связь изучаемых явлений. Например, если мы хотим выяснить связь между энергией и информацией, можно рассмотреть одномолекулярный двигатель, то есть такой двигатель, в котором вместо газа движется одна единственная молекула. При этом нетрудно рассчитать как ее энергетические характеристики, так и связанную с ней информацию. Очевидно, что в реальном эксперименте такую ситуацию воспроизвести невозможно. Между тем в мысленном эксперименте это не только воспроизводится, но и дает возможность количественно рассчитать связь информации и энергии. К такому же мысленному эксперименту относится и «демон» Максвелла. В этом случае показывается, что никаким способом невозможно создать процесс возрастания неэнтропии в изолированной системе. Мысленный эксперимент позволяет объединить логический процесс с чувственными образами и тем самым рассмотреть общую закономерность как бы в единичной форме, отбросив все случайные внешние факторы. Мысленный эксперимент, объединяя логический процесс с образной формой, создает предпосылку к переходу от теории к эмпирической проверке. Но тем самым мы переходим к третьей стадии теоретического познания. Задача этой стадии - перебросить мостик от теории к эмпирическим фактам. Как отмечалось выше, согласно теореме Гильберта - Бернайса теоретическое построение невозможно интерпретировать непосредственно на эмпирическом материале. Поэтому необходимы такие построения, которые, с одной стороны, воплощали бы в себе установленные в теории законы, а с другой, отражали бы эмпирически установленные факты. Хорошей иллюстрацией построения модели, которая связывает теорию с эмпирическими фактами, является использование ньютоновской механики для построения моделей движения спутника вокруг центрального тела под действием закона инерции и сил тяготения. Мысль, что тела, обладающие массой, взаимно притягиваются, высказывалась и до Ньютона, например, его современником Гуком. Однако открытие закона всемирного тяготения справедливо приписывается Ньютону, поскольку он сумел, используя этот закон и закон инерции, открытый Галилеем, показать, что спутник должен вращаться вокруг центрального тела по эллипсу, а само это тело должно находиться в фокусе эллипса. Между тем как раз этот факт и был установлен Кеплером на основании громадного материала наблюдений за вращением планет вокруг Солнца. До этого, вслед за Коперником, считалось, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям. Обобщив множество наблюдений, Кеплер вывел свои законы движения планет вокруг Солнца чисто эмпирическим путем. Ньютон показал, что те же законы можно вывести из законов механики на основе закона всемирного тяготения.
Для того чтобы проверить истинность утверждения теории относительности, что время действительно замедляется с увеличением скорости движения тела, была построена модель распада элементарных частиц. Эксперимент, в котором изучался распад частиц при их движении с большой скоростью, показал, что время распада увеличивается в соответствии с формулами теории относительности, что и означает замедление времени с увеличением скорости.
Таким образом, построение научных теорий начинается с того толчка, который возникает либо вследствие обнаружения таких фактов, которые уже не укладываются в ранее существовавшие теории, либо вследствие того, что само эмпирическое знание уже недостаточно для понимания и использования результатов научного знания к данной предметной области.
Особый класс содержательных теорий образуют те из них, которые стремятся рассмотреть свой предмет с точки зрения его генезиса, то есть возникновения и развития. При этом можно выделить два уровня таких теорий. К первому относятся те, которые в сущности ограничиваются лишь эмпирическими методами. Классическим примером является традиционная историческая наука. Объектом ее изучения является общество в его временном существовании. Однако общество - - это достаточно сложный организм, и поэтому его изучение требует выделения различных подсистем, изучение каждой из которых предполагает использование специфических методов. Несомненно, что в исторической науке используются и теоретические модели. Однако основу образуют эмпирические исследования. Сами теоретические модели создаются не как элементы теоретического уровня научного исследования, а как концепции, претендующие на непосредственное обобщение эмпирических фактов с попыткой выявить эмпирические законы. Например, этнология включается в систему исторических наук, и в последние годы были сделаны попытки теоретических обобщений. Однако они настолько прочно связаны с эмпирическими фактами, что могут рассматриваться лишь как способ выявления эмпирических закономерностей.
Геология в ряде своих направлений также стала широко использовать исторический метод. Характерной формой исторического метода в естественных науках стал актуализм. Особенность его состоит в том, что при изучении некоторой совокупности явлений, процессов предполагается, что на протяжении всего процесса возникновения и развития законы, действующие в этой области, остаются неизменными. Этот же метод широко применялся в космогонии и космологии. Так, знаменитая теория формирования Солнечной системы Канта - Лапласа была типичной попыткой решить проблему методом актуализма, поскольку предполагалось, что на протяжении всей истории формирования Солнечной системы решающее значение имели лишь законы механики, которые оставались неизменными весь этот период.
Аналогично этому в космологии, в теории Большого взрыва весь процесс становления доступной нам части Вселенной рассматривается при предположении, что законы физики, действовавшие на протяжении двадцати миллиардов лет, оставались неизменными. От этого предположения отказались лишь тогда, когда попытались построить модель эволюции самого Большого взрыва.
На основании принципа актуализма в течение длительного периода изучались эволюционные процессы в биологии. Предполагалось, что механизмы отбора, наследственности и изменчивости равным образом действовали на всех стадиях биологической эволюции.
Не вызывает сомнения, что с помощью принципа актуализма удалось получить множество ценных результатов. Сама идея универсальности эволюции была признана благодаря широкому использованию этого принципа. До сравнительно недавнего времени в естествознании не применялся никакой другой принцип для построения теории эволюции. И каждый раз создание той или иной теории с помощью принципа актуализма становилось настоящей революцией в этой области. Это можно сказать равным образом о космогонии, о геологии, о том перевороте в астрономии, который произошел с признанием космологической модели Большого взрыва, биологии.
И все же, несмотря на громадные успехи в открытии множества фактов благодаря исследованиям с применением этого принципа, в конце нашего века можно сказать, что этот метод имеет и существенную ограниченность.
У нас нет никаких оснований утверждать, что законы в любой области познания, открытые наукой, являются вечными и неизменными. Но если законы изменяются, а мы используем идеализацию абсолютной неизменности законов, то такая идеализация должна обязательно проявиться в результатах познавательной деятельности, поскольку она обязательно вносит огрубление в результаты научного познания, и эти огрубления рано или поздно проявятся. Так, согласно модели Канта - Лапласа, весь процесс формирования Солнечной системы занял примерно восемнадцать миллионов лет. Между тем применение того же метода к вычислению времени формирования темных пород показывает, что некоторые из них существуют по крайней мере более трех миллиардов лет. Но в самой истории Земли актуализм как метод приводит к явным неточностям. Эти несообразности обычно используют противники самого принципа эволюции природных явлений. Например, если учесть количество солей, которые несут с собой реки в Мировой океан, то концентрация соли в нем должна быть на несколько порядков выше. Из этого противники эволюции делают вывод, что эволюция Земли не могла происходить на протяжении сотен миллионов лет.
Для того чтобы применить принцип развития к познанию той или иной области так, чтобы это развитие включало в себя и процесс становления законов соответствующей области, необходимо применить принцип единства исторического и логического, то есть построить логическую модель развивающейся системы. Именно этот принцип реализован, в частности, в математических моделях Суперсилы.
Принцип единства исторического и логического может быть эффективно применен лишь тогда, когда изучаемый процесс уже привел к возникновению той качественной определенности изучаемых объектов, история которых должна быть отображена в логической модели их развития. Но при этом возникает противоречие: с одной стороны, для того чтобы проследить историю возникновения и развития объекта, надо начинать с того, с чего начиналось это развитие, а с другой стороны, заведомо известно, что тогда действовали иные законы. Следовательно, знание тех законов, которые действуют в условиях развитого объекта или развитой системы, которую нам предстоит изучить и понять, не могут служить основанием для изучения исходных законов, которые были существенно иными.