Задача 1
Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одного из регионов (выборка 5% механическая бесповторная), млн. руб.:
|
№ предприятия п/п |
Производительность труда, млн. руб./чел.. |
Объем производства, млн. руб. |
№ предприятия п/п |
Производитель-ность труда, млн. руб./чел.. |
Объем производства, млн. руб. |
|
|
1 |
1,2 |
35 |
16 |
1,5 |
59,6 |
|
|
2 |
1,2 |
38,6 |
17 |
1,4 |
62,6 |
|
|
3 |
1,4 |
61,4 |
18 |
1,4 |
56,6 |
|
|
4 |
1,35 |
46,4 |
19 |
1,45 |
65 |
|
|
5 |
1,4 |
65 |
20 |
1,45 |
65 |
|
|
6 |
1,35 |
51,8 |
21 |
1,6 |
82 |
|
|
7 |
1,4 |
58,3 |
22 |
1,35 |
48,7 |
|
|
8 |
1,4 |
44,1 |
23 |
1,35 |
54,2 |
|
|
9 |
1,55 |
75,2 |
24 |
1,35 |
53 |
|
|
10 |
1,55 |
69,8 |
25 |
1,4 |
63,8 |
|
|
11 |
1,35 |
46,4 |
26 |
1,4 |
57,8 |
|
|
12 |
1,4 |
55,4 |
27 |
1,4 |
60,2 |
|
|
13 |
1,45 |
67,5 |
28 |
1,5 |
71,3 |
|
|
14 |
1,3 |
43,5 |
29 |
1,45 |
60 |
|
|
15 |
1,45 |
62,5 |
30 |
1,25 |
41,3 |
Признак - производительность труда в расчете на 1-го работника.
По исходным данным:
1. Постройте статистический ряд распределения регионов по признаку численность занятых в экономике, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2 задания.
3. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.
Решение
товарооборот цена производительность группировка
1. Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину (шаг) интервала группировки по формуле:
k = 5 , число групп в группировке (из условия)
Xmax, Xmin - максимальное и минимальное значение группировочного признака
l - величина (шаг) интервала группировки.
L = (1,6 - 1,2)/5 = 0,4/5 = 0,08
|
Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел.. |
№ предприятия п/п |
Производительность труда, млн. руб./чел.. |
Объем производства, млн. руб. |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1.2 -1,28 |
1 |
1,2 |
35 |
|
|
2 |
1,2 |
38,6 |
||
|
30 |
1,25 |
41,3 |
||
|
Итого |
3 |
3,65 |
114,9 |
|
|
1,28-1,36 |
4 |
1,35 |
46,4 |
|
|
6 |
1,35 |
51,8 |
||
|
11 |
1,35 |
46,4 |
||
|
14 |
1,3 |
43,5 |
||
|
22 |
1,35 |
48,7 |
||
|
23 |
1,35 |
54,2 |
||
|
24 |
1,35 |
53 |
||
|
Итого |
7 |
9,4 |
344 |
|
|
1,36-1,44 |
3 |
1,4 |
61,4 |
|
|
5 |
1,4 |
65 |
||
|
7 |
1,4 |
58,3 |
||
|
8 |
1,4 |
44,1 |
||
|
12 |
1,4 |
55,4 |
||
|
17 |
1,4 |
62,6 |
||
|
18 |
1,4 |
56,6 |
||
|
25 |
1,4 |
63,8 |
||
|
26 |
1,4 |
57,8 |
||
|
27 |
1,4 |
60,2 |
||
|
Итого |
10 |
14 |
585,2 |
|
|
1,44-1,52 |
13 |
1,45 |
67,5 |
|
|
15 |
1,45 |
62,5 |
||
|
16 |
1,5 |
59,6 |
||
|
19 |
1,45 |
65 |
||
|
20 |
1,45 |
65 |
||
|
28 |
1,5 |
71,3 |
||
|
29 |
1,45 |
60 |
||
|
Итого |
7 |
10,25 |
450,9 |
|
|
1,52-1,6 |
9 |
1,55 |
75,2 |
|
|
10 |
1,55 |
69,8 |
||
|
21 |
1,6 |
82 |
||
|
Итого |
3 |
4,7 |
227 |
2. Средняя арифметическая в данном случае вычисляется по формуле:
(х)/n = 42/30 = 1,4
Среднее кв. отклонение рассчитываем по формуле:
Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле:
где: G - среднее квадратическое отклонение;
x - средняя величина
|
№ предприятия п/п |
Производительность труда, млн. руб./чел.. |
|||
|
1 |
1,2 |
-0,2 |
0,04 |
|
|
2 |
1,2 |
-0,2 |
0,04 |
|
|
3 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
4 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
5 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
6 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
7 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
8 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
9 |
1,55 |
0,15 |
0,0225 |
|
|
10 |
1,55 |
0,15 |
0,0225 |
|
|
11 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
12 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
13 |
1,45 |
0,05 |
0,0025 |
|
|
14 |
1,3 |
-0,1 |
0,01 |
|
|
15 |
1,45 |
0,05 |
0,0025 |
|
|
16 |
1,5 |
0,1 |
0,01 |
|
|
17 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
18 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
19 |
1,45 |
0,05 |
0,0025 |
|
|
20 |
1,45 |
0,05 |
0,0025 |
|
|
21 |
1,6 |
0,2 |
0,04 |
|
|
22 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
23 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
24 |
1,35 |
-0,05 |
0,0025 |
|
|
25 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
26 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
27 |
1,4 |
0 |
0 |
|
|
28 |
1,5 |
0,1 |
0,01 |
|
|
29 |
1,45 |
0,05 |
0,0025 |
|
|
30 |
1,25 |
-0,15 |
0,0225 |
|
|
Итого: 0,245 |
Таким образом, среднее квадратическое отклонение составит 0,09.
Коэффициент вариации равен 0,09/1,4 х 100% = 6,4%.
3. Средняя арифметическая вычисляется по формуле:
Где f - частота, т.е. число, которое показывает, сколько встречается каждая варианта
Соответственно:
((1,28 х 3) + (1,36 х 7) + (1,44 х 10) + (1,52 х 7) + (1,6 х 3)) / 30 = 43,2/30 = 1,44 млн. руб./чел.
Расчет среднего квадратического отклонения по аналитической группировке:
|
№ предприятия п/п |
Производительность труда, млн. руб./чел. |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
1,2 |
-0,24 |
0,0576 |
0,1728 |
|
|
2 |
1,2 |
-0,24 |
0,0576 |
0,1728 |
|
|
3 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
4 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
5 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
6 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
7 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
8 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
9 |
1,55 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
10 |
1,55 |
0,11 |
0,0121 |
0,0363 |
|
|
11 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
12 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
13 |
1,45 |
0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
|
14 |
1,3 |
-0,14 |
0,0196 |
0,1372 |
|
|
15 |
1,45 |
0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
|
16 |
1,5 |
0,06 |
0,0036 |
0,0252 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
17 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
18 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
19 |
1,45 |
0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
|
20 |
1,45 |
0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
|
21 |
1,6 |
0,16 |
0,0256 |
0,0768 |
|
|
22 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
23 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
24 |
1,35 |
-0,09 |
0,0081 |
0,0567 |
|
|
25 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
26 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
27 |
1,4 |
-0,04 |
0,0016 |
0,016 |
|
|
28 |
1,5 |
0,06 |
0,0036 |
0,0252 |
|
|
29 |
1,45 |
0,01 |
0,0001 |
0,0007 |
|
|
30 |
1,25 |
-0,19 |
0,0361 |
0,1083 |
|
|
Итого: 1,2946 |
Таким образом, среднее квадратическое отклонение составит 0,21.
Коэффициент вариации равен 0,21/1,44 х 100% = 14,6%.
Вывод: в обоих случаях расчета, коэффициент вариации (V) значительно меньше 30 %. Следовательно, рассмотренная совокупность достаточно однородна и средняя для нее достаточно типична. Расхождение между показателями можно объяснить во втором случае более взвешенной оценкой вариативности.
Задача 2
Связь между признаками - производительность труда и объем производства.
1. Установите наличие и характер корреляционной связи между численностью занятых в экономике региона и валовым региональным продуктом, используя метод аналитической группировки.
2. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Решение
1. Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом производительностью труда и объемами производства:
|
Группы предприятий по производительности труда, млн. руб./чел. |
Число предпри-ятий |
Производительность труда, млн. руб./чел. |
Объем производства, млн. руб. |
|||
|
Всего по группе |
в среднем на одно предприятие |
Всего по группе |
в среднем на одно предприятие |
|||
|
1,2-1,28 |
3 |
3,65 |
1,22 |
114,9 |
38,3 |
|
|
1,28-1,36 |
7 |
9,4 |
1,34 |
344 |
49,1 |
|
|
1,36-1,44 |
10 |
14 |
1,4 |
585,2 |
58,5 |
|
|
1,44-1,52 |
7 |
10,25 |
1,45 |
450,9 |
64,4 |
|
|
1,52-1,6 |
3 |
4,7 |
1,56 |
227 |
72,4 |
Исследовав показатели работы 30-ти предприятий, можно сказать, что объемы производства предприятия находится в прямой зависимости от производительности труда.
2. Для расчета эмпирического коэффициента детерминации необходимо использовать следующую формулу:
где - общая дисперсия признака Y,
- межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле