Авторы критериев прочности
Галилей-Лейбниц (теория максимальных нормальных напряжений)
Сен-Венан, Мариотт (теория приведенных напряжений)
Кулон, Мор (теория макси мальных касательных напря жений)
Бельтрами, Хейг
Губер, Мизес, Генки
Шлейхер, Буржинский. Яги
Боткин
Дощинский
Писаренко, Лебедев
Условия прочности для трехосного неравнокомпонентного сжатия
Классические теории прочности
^сж ^ a i ^ ^р
•^сж^ °2 ^ ^р |
(3.25) теория не учитывает сложного напряженного состояния |
|||||
* с ж < *3< Д Р |
|
|
|
|
|
|
я сж< а 1 ~ г,(а2 +аз )<‘ Ер |
<3-21) |
|
|
|
|
|
|
Rn |
(3.111) |
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергетические теории прочности |
|
|
|||
л / а ? + |
al + а\ - 2v (ог а2 + а2а3 + аъа1) < Д |
^ |
|
(3.28) |
|
|
~ = - |
у/(ох- о г )г + (а2- о 3)2+ (а3- о 1)2 |
< |
Д ^ |
(3.29) |
|
|
а?.+ а\ + а\ - 2v(al a2 + а2аэ + a3at ) + ( Л ^ - |
Др)(о1 + а2 + а3 ) < Д р Д ^ |
(3.30) |
||||
Г |
Z |
Z |
|
T |
>^(Дсж -Ло) |
|
||
+(a3 ~ ffi) |
V |
1л |
|
|
||||
|
+ ( ^ _ а з) |
|
+ |
— Гд---------(а, +а2 + а3)< |
||||
|
|
|
|
|
|
сж |
р |
|
Гг |
2 2 |
2 У ( 2 — |
у ) ] |
|
° 2 а з + |
|
•^сж |
-^р |
V°1 + Oj + ®з |
^ |
Г2 + |
a 3 a i ) |
+ |
( а ^ а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
л сж |
л р |
|
|
Обобщенный |
критерий |
|
|
|||
2>/2Д сж^рД
(3.31)
^СЖ + Д р
2/гсжлр
а - н ^ Х - - |
■ - |
(3.32) |
л сж+ л р
I |
1 |
(3.33; |
^-[(<yi-®î)2 + (^ -® 3 )2+ (ff3“ ffl)2] + (1 _ "^2----)°] < ЛР |
2 |
исж |
материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию (Шлейхер, Буржинский, Ягн и др.).
Подавляющее большинство этих гипотез представляет собой част ные случаи более общей зависимости, содержащей первый инвариант
тензора напряжений |
|
|
Л = |
о1 + о2 + аг |
(3.34) |
и второй инвариант девиатора напряжений |
|
|
Гг = |
Kffi ~ а2>2 + (°г ~ аз)2 + (°э ~ ai )2]* |
(3.35) |
где а1, а2, о3 — соответственно максимальное, промежуточное и ми нимальное главные напряжения.
Предельная поверхность по этим гипотезам является поверхно стью вращения, образующая которой представляет собой кривую вто рого порядка.
По предложенному Г.С. Писаренко и А.А. Лебедевым обобщенно му критерию прочности условие наступления предельного состояния записывается в виде
х 2а} |
+ (1 + х 2) о 2 < R 2, |
(3.36) |
|
где |
х |
= Яр/^сж , о,« — интенсивность напряжений, |
|
а{ = |
|
Щ-sj{al - a 2)'1 + (о2 - |
а3 ) 2 + (сь,- агf . |
Таким образом, условие прочности будет иметь вид |
|||
- Г Г - |
[ ( а ,- о 2)2 + (0i - a 3)a +{а3- а . ) 3] + (1 — - £ - ) а? < Д ,. (3.37) |
||
лсяс |
|
^ |
к сж |
Приведенные критерии прочности предполагают определение сле дующих величин из простейших опытов: предел прочности при одно осном сжатии R ^ ; предел прочности при одноосном растяжении i?p ; коэффициент Пуассона v.
Сравнительный анализ (табл. 3.4) показывает, что все рассмотрен ные условия прочности не соответствуют экспериментально получен ным данным о прочности горных пород в условиях трехосного не равномерного сжатия. Большинство из них более или менее удовлет ворительно описывают прочность в условиях плоского напряженного состояния, для условий же трехосного неравнокомпонентного сжатия рассмотренные критерии прочности явно не приемлемы, расхождения теоретических значений прочности с экспериментальными весьма велики.
Горная порода
Аргиллит № 25
Дсж= 262 10-5 Па Ар = 33 10“s Па
V = 0,25
Аргиллит № 37 Лсж= 637-10“5 Па Яр = 75 Ю ~5 Па
V = 0,25
Условия экспери мента
«о |
гЧ |
|
О |
|
|
|
|
|
iH |
Д ги |
Па |
С) С |
|
|
Критерии прочности |
|
|
||
классические |
|
энергетические |
|
Обоб- |
||
Сен-Венана, Кулона-Мора |
Бельт- |
Губера, |
Шлейхера, |
Бот |
идей |
|
Дощинный |
||||||
Мариотта |
(максималь |
ра ми- |
Мизеса |
Буржин- |
кина |
ского |
(приведен |
ных касатель |
Хейга |
|
ского, |
|
|
ных напря |
ных напря |
|
|
Ягна |
|
|
жений) |
жений) |
|
|
|
|
|
0 |
-5 1 |
-2 7 0 |
80 |
35 |
262 |
250 |
-4890 |
—2 |
4,0 |
33 |
|
|
|
|
2,4 |
1,06 |
1,0 |
0,96 |
— |
— |
0,07 |
1,0 |
|
|
—170 |
—170 |
85 |
22 |
208 |
170 |
—34 510 |
—34 |
—77 |
22,8 |
|
|
|
|
2,6 |
0,7 |
0,8 |
0,6 |
|
— |
— |
0,7 |
|
-250 —ИЗО |
—ИЗО |
265 |
103 |
1310 |
880 |
1 120 560 -1510 |
—872 |
274 |
|||
|
|
|
8,0 |
3,1 |
5,0 |
3,3 |
130 |
— |
— |
8,3 |
|
—250 |
-7 2 0 |
—1150 |
220 |
100 |
1120 |
780 |
770 170 |
-1230 |
—709 |
270 |
|
|
|
|
6,7 |
3,0 |
4,3 |
3,0 |
89,0 |
— |
— |
8,2 |
|
-2 5 0 |
-2 5 0 |
—1150 |
102 |
.100 |
1070 |
905 |
750 900 |
-5 5 0 |
—311 |
276 |
|
3,1 |
3,0 |
4,1 |
3.4 |
86,8 |
— |
— |
8,4 |
||||
|
|
|
|||||||||
|
-2 8 5 |
—285 |
143 |
34,2 |
350 |
285 |
-1 9 8 500 |
-224 |
485 |
33,6 |
|
|
1.9 |
0,5 |
0,5 |
0,45 |
— |
— |
3,6 |
0,45 |
|||
|
|
|
|||||||||
0 |
-110 |
-5 80 |
173 |
69,5 |
565 |
535 |
-7 1 180 |
-1 2 |
-0 ,2 |
63 |
|
2,3 |
0,9 |
0,8 |
0,8 |
— |
— |
— |
0,8 |
||||
|
|
|
|||||||||
-300 |
-1460 -1460 |
373 |
125 |
1680 |
1160 |
1039 760 |
-1900 |
-1127 |
328 |
||
5,0 |
1,7 |
2,6 |
1,8 |
21 |
—* |
— |
4,4 |
||||
|
|
|
|||||||||
Продолжение табл. 3.4
Горная порода
Аргиллит № 37
Песчаник № 65г
Дс ж = 460 10" 5 Па
Др~ 46 Ю “5 Па
V = 0,21
Песчаник (Darley Dale)
Лсж = 680 10~S Па Др = 5 0 1 0 “s Па
V — 0,2
Условия экспертмента
ть |
(Лт |
* |
|
IA |
«Л |
|
|
о |
1 |
о |
|
О |
|
||
н |
тЧ |
1-4 |
* |
fe с |
* |
- |
|
ь G |
<ч |
к |
|
—300 |
—1020 |
—17 UU |
|
—300 |
—300 |
—1835 |
|
0 |
-2 3 3 |
—455 |
|
0 |
-9 7 |
—510 |
|
-2 0 0 |
—1157 |
—1157 |
|
—200 |
—873 |
—1500 |
|
—200 |
—200 |
—1640 |
|
—320 |
—1580 |
—1580 |
|
—70 |
- 7 0 |
—1050 |
|
—140 |
—140 |
—1400 |
|
—210 |
—210 |
—1750 |
|
|
|
Критерии прочности |
|
|
|
||
классические |
|
энергетические |
|
Обоб |
|||
Сен-Венана, Кулона-Мора БельтГубера, |
Шлейхера, |
Бот |
Цощин- |
щен |
|||
ный |
|||||||
Мариотта |
(максималь |
ра ми- |
Мизеса |
Буржин- |
кина |
ского |
|
(приведен* |
ных касатель |
Хейга |
|
ского, |
|
|
|
ных напря |
ных напря |
|
|
Ягна |
|
|
|
жений) |
жений) |
|
|
|
|
|
|
980 |
960 |
1650 |
1200 |
1048160 |
—1630 |
—961 |
332 |
13,0 |
1.3 |
2,6 |
1,9 |
21,9 |
— |
— |
4,4 |
830 |
80 |
1730 |
1520 |
1583260 |
—530 |
—306 |
346 |
11,0 |
1.1 |
2,7 |
2,4 |
33,1 |
—* |
|
4,6 |
144 |
46 |
460 |
390 |
-6 1 1 6 0 |
—187 |
—117 |
39,4 |
3,1 |
1,0 |
1,03 |
0,9 |
— |
— |
— |
0,86 |
128 |
51 |
500 |
464 |
3500 |
—30 . |
—10 |
46,8 |
2,8 |
1,1 |
1,1 |
1,03 |
0,17 |
— |
— |
1,02 |
685 |
84 |
1400 |
950 |
945 000 |
-1510 |
—800 |
220 |
15,0 |
1.8 |
3,1 |
2,1 |
45,7 |
— |
— |
4.8 |
700 |
50 |
1500 |
1115 |
1263 300 |
-1340 |
—710 |
230 |
15,2 |
1,1 |
3,4 |
2,5 |
61,0 |
“ “ |
—120 |
5,0 |
586 |
36 |
1570 |
1430 |
1660 000 |
—290 |
246 |
|
12,7 |
0,8 |
3,4 |
3,2 |
80,0 |
— |
|
5,3 |
985 |
162 |
1900 |
1250 |
2428 400 |
—2190 |
—1440 |
340 |
21,0 |
3,5 |
4,2 |
2,8 |
117,0 |
|
|
7,4 |
|
|
|
970 |
297 800 |
- 6 0 |
—25 |
89 |
|
|
|
1,4 |
8,8 |
— |
— |
1,8 |
|
|
|
1250 |
775 200 |
—240 |
-1 4 5 |
167 |
- |
|
|
1.8 |
22,8 |
— |
— |
3,3 |
— |
— |
— |
15£5 |
1467 000~ |
—420 |
—260 |
235 |
2,2 |
43,1 |
|
1 “ |
4,7 |
|||
|
|
|
|
||||
Песчаник (Pennant) |
—70 |
-7 0 |
—1820 |
|
|
1750 |
761 100 |
220 |
160 |
|
|
|
1,2 |
3,8 |
0,6 |
0,6 |
|||||
R__ = 1400* 10“5 Па |
|
|
|
|
|
|||||
—140 |
-1 4 0 |
—2200 |
|
|
2060 |
1505 000 |
60 |
450 |
||
Др = 142*10"5 Па |
|
|
||||||||
|
|
1,5 |
7,76 |
0,16 |
1.7 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
V = |
0,2 |
-2 1 0 |
—210 |
-2650 |
|
|
2420 |
2790000 |
-6 0 |
-1 6 |
|
|
|
|
1,7 |
14,0 |
— |
— |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
—280 |
-2 8 0 |
-2950 |
|
|
2640 |
3 758 300 |
—290 |
—120 |
|
|
|
|
1,9 |
18,9 |
— |
— |
|||
Мрамор (Коелга) |
—100 |
—100 |
-1450 |
|
|
1350 |
|
—145 |
|
|
|
|
1,4 |
|
_ |
|
|||||
Дсж= 100*10~s Па |
|
|
|
|
|
|
|
|||
—1600 -1600 |
—5350 |
|
|
3750 |
|
—5350 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Др = 60*10's Па |
|
|
3,8 |
|
— |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
—2600 -2600 |
—7000 |
|
|
4400 |
|
—9000. |
|
|
|
|
|
|
4,4 |
|
— |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Алевролит Д-19 (Донбасс) |
-6 7 0 |
-6 7 0 |
-4000 |
|
|
3330 |
|
-1700 |
|
|
|
|
2,0 |
|
— |
|
|||||
Дсж = 1660 10_s Па |
|
|
|
|
|
|
|
|||
—2700 —2700 |
-1 0 3 5 0 |
|
|
7660 |
|
-8100 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
Др = 96* 10”5 Па |
|
|
4.6 |
|
— |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Песчаник П*0 (Донбасс) |
—200 |
-2 0 0 |
-3600 |
|
|
3400 |
|
10 |
|
|
|
|
1,3 |
|
0,02 |
|
|||||
Дсж= 2600-10'5 Па |
|
|
|
|
|
|
|
|||
-6 0 0 |
-6 0 0 |
-5100 |
_ _ |
» |
4500 |
|
-1170 |
|
||
Др = 208*10“s Па |
1,7 |
|
— |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
-2100 -2100 |
-9800 |
|
|
7620 |
|
—5880 |
|
|
|
|
|
|
2,9 |
|
— |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Известняк (Эстония) |
-1 0 0 |
-1 0 0 |
-1 27 0 |
|
|
1160 |
|
-2 2 0 |
|
|
|
|
1,5 |
|
— |
|
|||||
Док = 800*10 ^ Па |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1870 |
|
—1320 |
|
||
Яр = 38*10 ^ Па |
-4 1 5 |
-4 1 5 |
-2300 |
|
|
|
|
|||
|
|
2,3 |
|
— |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сл |
Примечание: Знак минус в числителе показывает, что при данных условиях по расчету разрушениё произойти не могло |
|||||||||
190
1,3
248
1,7
320
2,3
390
2,7
130
2,2
1600
26,7
2600
43,0
700
7,3
2700
28,0
360
1.7
640
з д
2180
10,5
—119
3,1
-425
11,1