Лекция: Ставки доходности финансового рынка

Наращенная сумма (простая учетная ставка)

S=P 1/ 1-nd

Здесь 1/(1 - nd) - множитель наращения; п - продолжительность ссуды в годах. При определении п берется точное число дней, а временная база обычно принимается равной 360 дням (К=360).

При п = 1/d расчет по формуле (3.2.11) лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом.

Простая учетная ставка дает более быстрый рост суммы ссуды, чем аналогичная по величине ставка простых процентов. Иллюстрация приведена в табл.

Множители наращения по простой ставке процентов и учетной ставке (i=d=10%)

Пример 3.2.5. Найти наращенную сумму для данных примера 1.1 при условии, что проценты начисляются по простой учетной ставке, равной 8%. По формуле (3.2.11) находим:

S= 100000 • 1/(1 - 258/360•0,08) = 106082,04 руб.

Дисконтирование и учет по простым и сложным процентным ставкам.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Кроме того, задача расчета Р по S возникает и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, сам процесс начисления и удержания процентов вперед называют учетом, а разность S - P=D - дисконтом. Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке банком или другим финансовым учреждением краткосрочных платежей, обязательств (векселей, тратт и т.д.), расчет по которым производится в будущем. Термин дисконтирование употребляется и в более широком смысле - как средство определения любой стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит величину S, вне зависимости от того, действительно имела место финансовая операция (кредитование, выдача денег в долг и т.д.), предусматривающая начисление процентов, или нет. Такой расчет часто называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени. Величину Р, найденную дисконтированием S, называют часто современной, или приведенной величиной S. Это понятие является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций, поскольку именно с помощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.

Исходя из целей дисконтирования и вида процентной ставки применяют два способа расчета: математическое дисконтирование и банковский учет.

Математическое дисконтирование (простая ставка процентов):

P = S • 1/(1+ni)

где 1/(1+ ni) - дисконтный множитель, п = д/К.

Пример 3.2.6. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит 31 тыс. сум. Кредит предоставлен под 6% годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта. По (3.2.12) при условии, что временная база равна 365 дням, находим

P = 31000/ (1+ 180/365 Ч 0,06) = 30109,1 сум;

D = S - P = 890,9 сум;

Банковский учет (простая учетная ставка)

P = S • 1/(1-nd)

где (1 - nd) - дисконтный множитель.

Данный вид учета, называемый также коммерческим, применяют при покупке (учете) векселей и других краткосрочных обязательств. Суть операции заключается в том, что банк или какое-либо иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю покупает его у владельца по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (или учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк таким образом реализует дисконт. Владелец векселя, с помощью его учета, имеет возможность получить деньги ранее указанного на нем срока.

Дисконтирование по учетной ставке чаще всего производится при условии, что временная база равна 360 дням, а число дней кредита обычно берется точным.

Применение учетной ставки для дисконтирования при относительно большом сроке уплаты по векселю и значительной учетной ставке (n?1/d) может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р. Например, при d = 0,2 уже пятилетний срок векселя достаточен для того, чтобы его владелец ничего не получил при учете. Такая ситуация не может возникнуть при математическом дисконтировании.

Пример 3.2.7. Тратта (переводный вексель) выдана на сумму 100 тыс. дол. с уплатой 17.11. Владелец документа учел его в банке 23.09 по учетной ставке 8%.

Так как оставшийся до погашения обязательства период равен 55 дням, то полученная при учете сумма (без уплаты комиссионных) составит

Р = 100 000 (1 - 55/360• 0,08) = 98777,78 долл.

Операции начисления простых процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться, например, при учете платежного обязательства, предусматривающего начисление простых процентов.

Учет платежного обязательства с начислением простых процентов:

P 2 = Р 1 (1 +n1i) (I - n2d),

где Р1 - первоначальная сумма ссуды; Р2 - сумма, получаемая при учете обязательства; n1 - общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов); п2 - срок от момента учета обязательства до даты погашения долга n_2, ? n1.

Пример 1.2.8. Обязательство уплатить через 180 дней 30 тыс. сум с процентами (6% годовых) было учтено в банке за 120 дней до наступления срока, учетная ставка 7,5%. Полученная при учете сумма без комиссионных составит:

P 2 = 30 (1 + 180/365• 0,06) (1 - 120/360 •0,075) = 30,115 тыс. сум.

При разработке условий контрактов иногда возникает необходимость в определении срока ссуды или уровня процентной ставки при всех прочих заданных условиях. Рассмотрим только основные методики, которые непосредственно касаются нашего предмета.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах и днях:

срок ссуды в годах:

n = (S-P)/Pi

n = (S-P)/Pd

срок ссуды в днях

n = (S-P)/PiЧK;

n = (S-P)/PdЧK

Простые процентные ставки определяются следующим образом:

ставка процентов

I = (S-P)/Pn = (S-P)/Pd ЧK

учетная ставка

d = (S-P)/Sn = (S-P)/Sd ЧK

где K - временная база начисления процентов, K = 365 (366) или 360.

Пример 3.2.9. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 10 тыс. долл., вырос до 10,5 тыс. долл. при условии, что на сумму долга начисляются простые проценты (K = 365) по ставке 8%?

По формуле (3.2.17) находим

D = (10,5 - 10)/10Ч0,08Ч365 = 228,1 или примерно 228 дней.

Пример 3.2.10. В контракте предусматривается погашение долга через 120 дней в сумме 12 тыс, дол., первоначальная сумма долга - 11,5 тыс. долл.

Необходимо определить величину учетной ставки. По формуле (3.2.20) получим:

D = (12-11,5)/12Ч·120Ч360 = 0,125 или 12,5%.

Необходимо отметить, что используя все вышеприведенные формулы, можно создать различные модификации последних четырех формул. Все будет зависеть от исходных критериев, которые будут задаваться для расчетов (количество дней в году, квартале, месяце и т.д.).

3. Факторы, влияющие на ставку доходности активов с фиксированным доходом

Процентной ставкой называют обещанную (promised) ставку доходности (или ставку дохода) по заимствованным средствам. Существует столько же различных типов процентных ставок, сколько имеется видов заимствований средств. Так, например, заемщик, одолживший деньги для покупки дома, будет выплачивать по этому займу процентную ставку, которая носит название ставки процента по закладной (mortgage rate), а ставка, взимаемая банками с фирм, называется ставкой процента по коммерческому кредиту (commercial loan rate).

Размер процентной ставки по любому виду кредита или инструменту с фиксированным доходом зависит от целого ряда факторов, наиболее важными из которых являются расчетная денежная единица (unit of account), срок платежа (maturity) и риск невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения, или риск дефолта (default risk). Рассмотрим подробнее каждый из этих факторов.

* Расчетная денежная единица представляет собой денежную единицу, в которой производятся платежи. Расчетной единицей, как правило, является валюта той или иной страны: доллары, франки, лиры, песо и т.д. Иногда в качестве единицы выступает какой-либо товар, например золото, серебро или стандартная «корзина» товаров и услуг. Процентная ставка варьируется в зависимости от расчетной денежной единицы.

* Срок платежа по инструменту с фиксированным доходом - это время, в течение которого необходимо выплатить всю занятую сумму. Процентная ставка по краткосрочным инструментам может быть выше, ниже или равной ставке процента по долгосрочным.

* Риск неплатежа представляет собой вероятность того, что какая-либо часть процентов или основной суммы долга по инструменту с фиксированным доходом не будет выплачена заемщиком. Чем выше степень этого риска, тем выше процентная ставка, которую должен обещать заемщик своим инвесторам для того, чтобы они согласились приобрести его ценные бумаги.

Теперь давайте рассмотрим, каким образом эти три фактора влияют на размер процентной ставки на практике.

Влияние расчетной денежной единицы.

Инструмент с фиксированным доходом считается безрисковым, надежным только применительно к конкретной расчетной денежной единице. При ее изменении процентная ставка может весьма существенно изменяться. Чтобы объяснить это явление наглядно, давайте рассмотрим облигации, номиналы которых указаны в разных валютах.

Предположим, что процентная ставка по государственным облигациям Соединенного Королевства намного выше, чем по государственным облигациям Японии, и они имеют приблизительно одинаковый срок погашения. Учитывая, что облигации данного класса свободны от риска неплатежа, не приведут ли данные условия к тому, что все инвесторы предпочтут облигации Соединенного Королевства?

Ответ в данном случае будет отрицательным, поскольку номиналы этих облигаций выражены в разной валюте: облигации Соединенного Королевства в фунтах стерлингов, а японские - в иенах. Несмотря на то что облигации обеих стран данного класса предлагают надежную ставку доходности в валюте этих стран, ставка доходности в любой другой валюте будет неопределенной, поскольку она зависит от обменного курса этих двух валют на момент получения платежа в будущем.

Давайте проиллюстрируем это утверждение конкретным примером. Предположим, вы решили инвестировать определенные средства сроком на один год. Процентная годовая ставка по государственным облигациям Японии составляет 3%, а по облигациям Соединенного Королевства - 9%. Валютный курс (exchange rate), который представляет собой цену одной валюты, выраженную через другую, равен 150 иен за 1 фунт стерлингов.

Представьте теперь, что вы являетесь японским инвестором, который хочет инвестировать свой капитал в иенах в какие-либо надежные активы. Купив японские облигации, вы гарантируете себе 3%-ный доход. Если же приобрести британские государственные облигации, ставка доходности в иенах будет зависеть от того, каким будет курс обмена иены и фунта стерлинга спустя год.

Предположим, вы решили приобрести облигации Соединенного Королевства на 1UO фунтов стерлингов. Чтобы это сделать, вам придется конвертировать 15000 иен в фунты стерлингов, т.е. сумма вашего первоначального капиталовложения составит 15000 иен. Поскольку процентная ставка по облигациям Соединенного Королевства равна 9%, через год вы получите 109 фунтов стерлингов. Однако стоимость этой суммы, переведенной в иены, предсказать невозможно, поскольку будущий валютный курс не знает никто.

Таким образом, фактическая ставка доходности, полученная вами в результате этой операции, будет следующей:

Ставка доходности (иены) = (109 фунт. стерл. х будущий курс фунта стерл. в иенах - 15000 иен) /15000 иен

Представим, что за год курс фунта стерлингов упал и составил 140 иен за один фунт. Какова в этом случае будет действительная ставка доходности в иенах по облигациям Соединенного Королевства?

Таким образом, ваша реальная ставка доходности составит 1,73%, что меньше 3%, которые вы могли бы получить, приобретя японские облигации с таким же сроком погашения.

На описанном выше примере поясните, как должен измениться валютный курс через год, чтобы японский инвестор, вложив капитал в иенах в облигации Соединенного Королевства, заработал ровно 3% годовых?