Материал: Статистические методы в астрофизике

, (1.5)

где А и В - некоторые известные константы, которые не имеют погрешности. Тогда искомая истинная величина  находится, как легко показать, подстановкой:

Здесь большие буквы означают истинные значения, при этом, если известны ошибки  и , то ошибка  может быть оценена аналогично предыдущему

 (1.6)

Или улучшенной оценкой:

 (1.7)

Действительно:

а среднеквадратичная ошибка:

Здесь  

Приведенная выше оценка (1.7) получается, если положить . Это есть условие независимости переменных х,у (см. далее).

Важно заметит, что ошибки складываются, даже если А и В имеют разные знаки.

Оценку (1.7) мы называем улучшенной по сравнению с (1.6) потому, что согласно последней формуле она будет меньше, чем в (1.6). Это легко показать, используя аналогию с теоремой Пифагора.

Этот результат можно распространить на любую функциональную зависимость: . Для этого представим измеряемые величины следующим образом:

 и ,

где  и  - случайные величины, характеризующие разброс измеряемых величин вокруг истинных значений X и Y.

Рассматривая производные как постоянные величины и используя предыдущие результаты, найдем:

 (1.8)

Здесь следует оговориться: выше под  и понимались независимые переменные. Вопрос, когда это не так, будет рассмотрен специально позднее.

Собственно говоря, мы уже можем начинать проводить некоторые статистические исследования.

Задача №1. Найти скорость Солнца относительно группы близких звезд.

Решение.

Рассмотрим небольшой объем вокруг Солнца, скажем, несколько десятков парсек (пк). Можем принять, что звезды в этом объеме имеют приблизительно одинаковую среднюю скорость относительно некоторой неподвижной системы отсчета (в галактической астрономии такая скорость называется систематической - не путать с систематической ошибкой). Обозначим эту скорость  (точный смысл среднего см. ниже).

Представим скорость Солнца в виде:

,

где имеет смысл искомой скорости.

Здесь следует помнить, что скорость звезды измеряется относительно Солнца. Поэтому наблюдаемая скорость i-ой звезды  (мы не будем останавливаться на астрономических аспектах методики измерения скоростей звезд) представляется в виде: , где  есть скорость звезды относительно неподвижной системы отсчета. Далее разложим скорость i-ой звезды относительно неподвижной системы отсчета на 2 составляющие - среднюю скорость, т.е. скорость движения выделенного объема как целого, и скорость относительно этого усредненного движения, т.е.: . Из сказанного вытекает: . Очевидно, первое и последнее слагаемые в правой части сокращаются. Поскольку  имеет смысл хаотической скорости, т.е. она - случайная величина, то по определению среднего . Тогда . С учетом того, что среднее значение от хаотической скорости звезд равно нулю, находим: .

Таким образом и была найдена скорость Солнца по отношению к близким звездам. Эта скорость называется собственной скоростью Солнца. Модуль ее порядка 15 км/с.

Из приведенных формул мы можем оценить среднеквадратичный разброс хаотических скоростей звезд . Найденная величина оказывается порядка 40 км/с.

Здесь следует сделать, по крайней мере, 3 замечания.

Во-первых, среди звезд вблизи Солнца встречаются такие, у которых собственные скорости могут достигать 100 км/с и более, что в несколько раз превосходит среднеквадратичную хаотическую скорость. Как к этому относиться? Является ли такое измерение следствием какой-то грубой ошибки, или это реальное событие? Ответ на этот вопрос таков. На первом этапе соответствующие звезды можно отбросить, приняв, что такие большие скорости есть следствие какой-то грубой ошибки. Затем повторить расчеты с новой (очищенной) выборкой звезд. Однако детальные исследования с привлечением дополнительных соображений показали, что аномально быстрые звезды обладают некоторой особенностью в кинематике, в частности, векторы их скоростей, как оказывается, заключены в некотором угловом направлении. Далее, у них достаточно низкое содержание тяжелых элементов (на первый взгляд, не совсем понятно, причем тут тяжелые элементы). На диаграмме спектр-светимость эти звезды оказываются в области, куда попадают старые объекты, не принадлежащие дисковой подсистеме. Если вспомнить, что Галактика состоит из нескольких подсистем - в первом приближении вращающегося в своей плоскости диска и не вращающегося сферического гало (диск образуют звезды с малой хаотической скоростью и большим содержанием тяжелых элементов, сферическую подсистему - звезды с большой хаотической скорость и малым содержанием тяжелых элементов), то становится понятно, что эти высокоскоростные звезды принадлежат подсистеме гало. Они не участвуют в общем вращательном движении вокруг центра Галактики, в то время как наше Солнце вместе с большинством близких звезд вращаются вокруг центра галактики. Поэтому большие скорости отдельных звезд есть следствие того, что наша местная система движется, участвуя в галактическом вращении, а эти звезды в нем не участвуют. Отсюда также видно, что наше исходное предположение, что все звезды в достаточно малом объеме вокруг Солнца движутся одинаково, строго говоря, не справедливо.

Во-вторых, следует уточнить, что измерения мы делаем с Земли, а не с поверхности Солнца. Хорошо известно, что Земля движется вокруг Солнца. Поэтому измеренные скорости звезд  будут иметь разные значения в зависимости от сезона, и, не учитывая этого факта, мы бы получили, что и скорость Солнца по отношению к близким звездам будет иметь сезонную вариацию, что физически бессмысленно. Это есть пример влияния систематической ошибки, которая в некотором смысле является скрытой. Уйти от этой погрешности можно следующим образом: надо провести измерения в течение года (а лучше, нескольких лет). Поскольку влияние движения Земли вокруг Солнца носит периодический характер, путем усреднения измерений можно исключить влияние движения Земли.

В-третьих, как оценить ошибку ? Для этого надо выполнить более объемные исследования.

Задача №2. Оценить среднюю скорость движения  звезд из малого объема в окрестности Солнца относительно близких галактик.

Решение.

Аналогично предыдущей задаче представим измеренную скорость i-ой галактики , где  - скорость i-ой галактики в неподвижной системе координат. Здесь также учтено, что измерения производятся в системе отсчета, связанной с Солнцем. Далее пренебрежем собственной скоростью Солнца (т.е. предположим, что  - это предположение выполняется с хорошей степенью точности). Учтем теперь, что  распределены хаотически, т.е. . Тогда (строго говоря, измерить удается лишь лучевую скорость галактик, но мы для упрощения изложения идеи рассуждения проводили относительно полного вектора скоростей). Оцененная таким образом скорость оказывается порядка 200 км/с (отметим, что сделанное выше предположение о малости собственной скорости Солнца выполняется). Однако придать конкретного смысла этой скорости на этом этапе не представляется возможным: это может быть как скорость вращения выделенной группы звезд вокруг центра нашей галактики, так и скорость движения нашей галактики в целом относительно группы близких галактик (как в случае с движением Солнца относительно группы близких звезд).

Литература

1. Д. Худсон «Статистика для физиков», - Мир, Москва, 1967.

. Е.С. Вентцель «Теория вероятностей», Физмат литература, - Москва, 1962.

. Дж. Джонстон «Эконометрические методы», М., Статистика, 2000.

. Н.Дрейпер, Г.Смит «Прикладной регрессионный анализ», в 2-х томах, - М., Финансы и Статистика, 2006.

. П.Е. Эльясберг «Измерительная информация: сколько ее нужно, как ее обрабатывать?», - М., Наука, 2003.

. Дж. Тейлер «Введение в теорию ошибок», - Мир, Москва, 2005.

. С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин «Основы моделирования и первичная обработка данных», - М., Финансы и статистика, 2003.