Материал: СТ4

Воспользуемся распределением Гиббса (5) для описания подсистемы фермионов. Необходимо учесть, что согласно принципу Паули в одном состоянии с энергией (в одной элементарной фазовой ячейке) может быть только один фермион. Тогда вероятность того, что фермион находится в выбранном состоянии согласно (5) запишется как а вероятность того, что фермиона в этом состоянии нет равна

Если воспользоваться условием нормировки , то , и Следовательно вероятность нахождения фермиона состоянии с энергией можно представить в виде:

. (6)

Выражение (6) представляет распределение Ферми-Дирака для фермионов. Используя (6), определим среднее число фермионов в состоянии с энергией, которое с учетом принципа Паули запишется:

. (7)

Учитывая выражения (6), (7), можно найти химический потенциал

Для электронов в металле химический потенциал называют энергией Ферми. Энергия электронов в металле характеризуется набором дискретных значений: При температуре все электроны имеют энергию ниже энергии Ферми (располагаются на уровнях ниже уровня Ферми). На рис. 1а) приведена функция распределения Ферми-Дирака для , на рис. 1б – функция распределения Ферми-Дирака для

б)

аа)

а) б)

Рис 1.

Если электронный газ называется вырожденным и обладает квантовыми свойствами. Уровень Ферми отделяет заполненные электронами уровни от незаполненных. Функция распределения имеет вид прямоугольной ступеньки для (рис. 1а), при прямоугольная ступенька размывается. Если , распределение проходит через значение ; при этом небольшая доля электронов, находящихся вблизи уровня Ферми в энергетическом слое , могут изменить согласно принципу Паули свою энергию и занять уровни выше уровня Ферми. При нормальных температурах число таких электронов . Теплоемкость вырожденного электронного газа близка к нулю:

Если , электронный газ называется невырожденным. Его распределение (6) преобразуется к виду:

Это распределение было получено в рамках классической физики и носит название распределения Больцмана. Электронный газ в металле вплоть до К остается вырожденным и описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Невырожденным электронный газ является в полупроводниках, у которых его концентрация n мала, вследствие чего он описывается классической статистикой Максвелла-Больцмана.

Распределение Ферми-Дирака позволяет найти среднее число электронов в элементарной фазовой ячейке. Задача сводится к определению числа фермионов, имеющих энергии от значения до . Для этого следует найти число состояний, которыми обладает фермион в заданном интервале энергий , , принимая для расчетов формулу (4).

Таким образом, число частиц содержащихся в объеме определится после интегрирования по энергии выражения:

Это соотношение можно использовать для нахождения энергии Ферми как функции температуры и концентрации () электронного газа в металле.

В частном случае когда (Рис. 1а) интеграл легко берется в пределах энергии от до , что позволяет определить химический потенциал и энергию Ферми при в виде:

(8)

Под понимают значение эффективной массы электрона в металле.

Энергию Ферми (потенциал ) при произвольной температуре можно получить из приближенного выражения:

(9)

Распределение электронов по энергиям в зоне проводимости можно представить как

Таким образом, функция численно равна концентрации электронов в единичном интервале энергий и согласно (4) и (7) имеет вид:

(10)

График функции представлен на рис. 2. На графике за «нуль» принята энергия дна потенциальной ямы.

Рис 2.

Концентрация электронов в зоне проводимости в металле определяется формулой:

При температуре, равной абсолютному нулю, электроны в металле согласно принципу Паули последовательно занимают все состояния с наименьшей энергией. Наибольшая энергия, которой обладают электроны при , называется энергий Ферми, а уровень, соответствующий этой энергии, – уровнем ферми Если отсчитывать энергию от дна зоны проводимости, она совпадает со значением химического потенциала при абсолютном нуле. . Химический потенциал электронного газа в металле слабо зависит от температуры.

Однако даже незначительное изменение химического потенциала с температурой (9) имеет принципиальное значение при рассмотрении контактных явлений в металлах. На рис. 1б) и 2 масштаб по оси энергий не соблюдается. Разница между и (также как и область размытия ) реально составляют лишь несколько процентов от значений при всех температурах вплоть до температуры плавления. Величину можно рассчитать по формуле (8). Концентрация электронов проводимости в металлах лежит в пределах см^–3, следовательно, эВ. Величину можно рассчитать используя формулу (8).

а) б)

Рис. 3

Изменение химического потенциала (9) с температурой имеет принципиальное значение при рассмотрении термоэлектрических явлений, возникающих при контакте двух различных по природе металлов. Если привести два различных металла в соприкосновение, между ними возникает так называемая контактная разность потенциалов. Она обусловлена тем, что при сближении металлов на расстояния порядка постоянной кристаллической решетки возрастает вероятность непосредственного перехода электронов из одного металла в другой. В этом процессе участвуют в основном электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Их состояния характеризуются различными значениями химических потенциалов , и , и, соответственно, разными работами выхода и

На рис. 3 приведены графики потенциальной энергии электрона, причем рис. 3а изображает уровни энергии до приведения металлов в соприкосновение, а рис. 3б – после их контакта.

Электроны будут преимущественно переходить из металла 1 с меньшей работой выхода в металл 2 с большей работой выхода (рис. 3), т. к. электроны стремятся занять состояния с меньшей потенциальной энергией. В результате при во втором металле концентрация электронов будет больше, и второй металл зарядится отрицательно, а первый положительно. Потенциал первого металла возрастет, второго – уменьшится, а потенциальная энергия электрона в первом металле уменьшится, а во втором – увеличится.

Условием равновесия между соприкасающимися металлами является равенство их химических потенциалов (рис. 3б). В результате в тонком пограничном слое толщиной, сравнимой с длиной свободного пробега электрона м устанавливается внутренняя контактная разность потенциалов, препятствующая дальнейшему переходу электронов. После установления динамического равновесия толщина пограничного слоя практически не меняется. Из рис. 3б видно, что потенциальная энергия электрона в первом металле меньше, чем во втором, а потенциал внутри первого металла выше, чем внутри второго на величину (10), где заряд электрона. Это разность потенциалов между внутренними точками металла называется внутренней контактной разностью потенциалов.

В непосредственной близости от поверхности концов металла электроны имеют разную энергию (рис. 3б), что указывает на наличие между металлами внешней контактной разности потенциалов

. (11)

Значение внешней разности потенциалов между концами цепи определяется разностью работ выхода для металлов, образующих крайние звенья цепи.

Термоэлектрические явления обусловлены связью между электрическими и тепловыми процессами в металлах. К числу таких явлений принадлежит эффект Зеебека. Эффект Зеебека состоит в том, что в замкнутой цепи из двух (и более) проводников (рис. 4) возникает термо-ЭДС (ТЭДС), если их контакты поддерживаются при различных температурах. Изменение знака у разности температур спаев сопровождается изменением направления тока в цепи.

Рис. 4

Термоэлектродвижущая сила обусловлена тремя причинами:

1. зависимостью химического потенциала от температуры;

2. диффузией электронов (или дырок);

3. увлечением электронов фононами.

Зеебек в 1921г получил линейную зависимость ТЭДС от разности температур в виде