ФГБОУ ВПО "Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет"
Собственные колебания тонких цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу
С.В. Серёгин
Аннотации
Уравнениями линейной теории пологих оболочек исследуется влияние малой присоединенной массы на собственные колебания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки (кольца, находящегося в условии плоской деформации). Рассмотрен новый подход к построению конечномерной модели, предполагающий, что инерционная неоднородность приводит к взаимодействию изгибных колебаний с радиальными.
Ключевые слова: круговая цилиндрическая тонкая оболочка, присоединенная масса, расщепление частотного спектра.
Основное содержание исследования
1. Введение. Тонкие круговые цилиндрические оболочки имеют широкое применение в различных отраслях техники. Встречаются случаи, когда такие конструкции имеют включения типа присоединенных масс. Известно [1-2], что инерционная неоднородность нарушает динамическую симметрию оболочки, что приводит к возникновению специфических явлений при ее изгибных колебаниях. При использовании вариационных методов, одним из ключевых моментов является выбор аппроксимирующей функции для предполагаемого прогиба оболочки. В настоящей работе предложен подход к построению конечномерной модели, предполагающий, что деформация оболочек обусловлена связанными изгибно-радиальными колебаниями.
1. Математическая модель. Математическая модель основана на уравнениях линейной теории пологих оболочек. Для кольца, находящегося в условии плоской деформации, имеющего радиус R, толщину стенки h, и несущей малую присоединенную массу М, уравнения, описывающие собственные изгибные колебания запишем следующим образом:
(1) 11 (1)
В первом приближении, в линейной постановке, прогиб кольца может быть аппроксимирован выражением:
(2)
В котором дополнительно введенная обобщенная координата позволяет описать особенности влияния присоединенной массы.
2. Собственные частоты колебаний. Подстановка (2) в (1) позволяет найти функцию , а затем и само окружное погонное динамическое усилие. Последующая ортогонализация второго уравнения (1) к форме прогиба (2) приводит к системе дифференциальных уравнений, описывающей колебания кольца с присоединенной массой:
(3)
где - малый параметр, характеризующий волнообразование и относительную толщину кольца.
Точками в (3) обозначено дифференцирование по безразмерному времени , где - n-я собственная частота изгибных колебаний идеального кольца (без присоединенной массы). - погонная масса кольца, величина присоединенной массы, число формообразующих волн. безразмерный амплитудный параметр.
Собственные частоты. Из системы модальных уравнений (3) нетрудно получить характеристическое уравнение, а затем и безразмерные частоты колебаний кольца несущего малую присоединенную массу:
Частотам и соответствуют преимущественно изгибные колебания, а частоте - преимущественно радиальные. Сплошной линией, на рис.1, обозначена большая из расщепленных собственных безразмерных () частот кольца с присоединенной массой, линией с кругами - меньшая. частота идеального кольца, расщепленная частота кольца с присоединенной массой.
Рис. 1 - Собственная частота кольца с присоединенной массой
4. Экспериментальное исследование МКЭ. Методом конечных элементов в среде пакета MSC/NASTRAN создана модель кольца, несущего точечно присоединенную массу. Кольцо имеет следующие параметры: R = 1 м, h = 0,005 м, ; Е = 2105 МПА; = 0,00795 Мнс2/м4; ширина кольца b = 0,005 м; Число конечных элементов - 1500.
Собственные частоты и формы колебаний кольца, несущего присоединенную массу представлены на рис.2.
Рис. 2 - Собственные частоты и формы
Результаты численного расчета МКЭ сведены на график, рис.3
колебание цилиндрическая оболочка масса
Рис.2 - Собственная частота кольца с присоединенной массой
На рис.3 представлены собственные безразмерные частоты кольца с присоединенной массой . Точками обозначены большие из расщепленных частот, пунктиром - меньшие. Кружками обозначен случай , треугольниками -
Видно, что в случае, когда число формообразующих волн , как у оболочек конечной длины, большая из расщепленных частот практически совпадает с частотой колебаний идеального кольца без массы, как и в теоретическом решении, а при расстройка усиливается с ростом величины присоединенной массы. Случай, когда не удается отразить в аналитических решениях, ни при использовании традиционной математической модели, ни при уточненной.
Список литературы
1. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б., Серёгин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на колебания разнотолщинного кругового кольца // Орел: Госуниверситет УНПК. Строительство и реконструкция. 2013. №4. - С.38-41.
2. Лейзерович Г.С., Приходько Н.Б. Серёгин С.В. О влиянии малой присоединенной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями. // Строительная механика и расчет сооружений, 2013. №6. С.49 - 51.
3. Лейзерович Г.С., Симонов В.С. О взаимодействии форм изгибных колебаний тонких круговых цилиндрических оболочек с разными параметрами волнообразования. Ученные записки КнАГТУ 2012 г №4 - 1 (12) с.9-12.