Материал: Решение_системы_линейных_уравнений

1. Сервисы по высшей математике для студентов и преподавателей. Решение системы линейных уравнений с выводом всех промежуточных решений, прямо на сайте. www.math-pr.com/equations_1.php - Сохраненная копия - Похожие

►

2. Система линейных алгебраических уравнений — Википедия

Перейти к разделу Методы решения‎: Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в ...

Матричная форма - Методы решения - См. также - Ссылки

ru.wikipedia.org/.../Система_линейных_алгебраических_уравнений - Сохраненная копия - Похожие

3. Системы линейных уравнений. (Лекция N 14)

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется ... www.toehelp.ru/theory/.../lecture14.html - Сохраненная копия - Похожие

4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Матричная запись и матричное решение системы ... Применим теперь наши знания о матрицах к решению систем уравнений первой ... www.mathelp.net/MA2.htm - Сохраненная копия - Похожие

5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, онлайн сервис ...

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, онлайн сервис для решения СЛАУ, решение уравнений, решение системы линейных уравнений методом Гаусса, ... www.webmath.ru/web/prog13_1.php - Сохраненная копия

6. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Здесь описан алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью так называемого метода Гаусса. Программу вы можете скачать разделе программы. ... www.alexeypetrov.narod.ru/.../gauss_about.html - Сохраненная копия - Похожие

7. Системы линейных уравнений - Библиотека алгоритмов

Системы линейных уравнений Ax=b можно поделить на два класса. Первый класс - это системы с квадратной невырожденной матрицей A, имеющие единственное решение ... alglib.sources.ru/.../linear.php - Сохраненная копия - Похожие

8. Решение Систем Линейных Уравнений download Программа для решения ...

15 сен 2006 ... Программа для решения системы линейных уравнений,представленной в виде матрицы коэффициентов и столбцасвободных членов. ... softsearch.ru › Программмы - Сохраненная копия - Похожие

9. Общее решение системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод ...

Общее решение системы линейных уравнений. Если система линейных уравнений AX = B совместна, rank A = r и, например, - базисный минор матрицы системы, ... www.pm298.ru/lin2.php - Сохраненная копия - Похожие

10. Численное решение уравнений и систем уравнений. Решение систем ...

Решение систем линейных уравнений' в разделе Методические Разработки образовательного ... Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы: ... www.nsu.ru/.../systemat/.../linear1.asp.htm - Сохраненная копия - Похожие

Поисковые запросы, связанные с Решение системы линейных уравнений

алгоритм решения системы линейных уравнений

системы линейных уравнений метод гаусса

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Здесь описан алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью так называемого метода Гаусса. Программу вы можете скачать разделе программы. Алгоритм реализован на языке С.

Пусть у нас есть система N линейных уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... a_1Nx_N = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... a_2Nx_N = b₂ a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... a_3Nx_N = b₃ ... a_N1x₁ + a_N2x₂ + a_N3x₃ + ... a_NNx_N = b_N

где x_i - неизвестные, a_ij - коэффициенты при неизвестных, b_i - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи - зная a_ij и b_i найти x_i.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:

Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты a_ij при j<i равны нулю.

Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим x_N= b_N / a_NN. Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него x_N-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим x_N-2. И так далее, пока не найдем x₁, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.

Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.

Из линейной алгебры (см. например, Крутицкая Н.И., Тихонравов А.В., Шишкин А.А., Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями) известно что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых у множается на некоторое число (в принципе, любое).

Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x₁. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... a_1Nx_N = b₁)*M + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... a_2Nx_N = b₂

Получим

(a₁₁*М + a₂₁) x₁ + ... = b₁*M + b₂

Для того, чтобы член при x₁ равнялся нулю, нужно, чтобы M = - a₂₁ / a₁₁. Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = - a₃₁ / a₁₁ и тоже получим ноль вместо члена при x₁. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида:

После этого будем избавляться от членов при x₂ в третьем, четвертом, N-ом уравнении. Для этого нужно к уравнению с j-м номером прибавить 2-ое уравнение, умноженное на M = - a_j2 / a₂₂. Проделав эту операцию над всеми остальными уравнениями, получим систему где нет членов с x₂ в уравнениях с номером больше 2.

И так далее... Проделав это для третьего члена, четвертого... до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.

Ниже приведен текст программы.

//HOWTO solve system of linear equations

//ax=b

//where a[N][N] is square matrix,

//b[N] and x[N] are columns

//data are stored in input text file:

//input file format:

//a_11 a_12 a_13... a_1N b_1

//a_21 a_22 a_23... a_2N b_2

//...

//a_N1 a_N2 a_N3... a_NN b_N

#include <stdio.h>

#include <process.h>

float **a, *b, *x;

int N;

char filename[256];

FILE* InFile=NULL;

void count_num_lines(){

//count number of lines in input file - number of equations

int nelf=0; //non empty line flag

do{

nelf = 0;

while(fgetc(InFile)!='\n' && !feof(InFile)) nelf=1;

if(nelf) N++;

}while(!feof(InFile));

}

void freematrix(){

//free memory for matrixes

int i;

for(i=0; i<N; i++){

delete [] a[i];

}

delete [] a;

delete [] b;

delete [] x;

}

void allocmatrix(){

//allocate memory for matrixes

int i,j;

x = new float[N];

b = new float[N];

a = new float*[N];

if(x==NULL || b==NULL || a==NULL){

printf("\nNot enough memory to allocate for %d equations.\n", N);

exit(-1);

}

for(i=0; i<N; i++){

a[i] = new float[N];

if(a[i]==NULL){

printf("\nNot enough memory to allocate for %d equations.\n", N);

}

}

for(i=0; i<N; i++){

for(j=0; j<N; j++){

a[i][j]=0;

}

b[i]=0;

x[i]=0;

}

}

void readmatrix(){

int i=0,j=0;

//read matrixes a and b from input file

for(i=0; i<N; i++){

for(j=0; j<N; j++){

fscanf(InFile, "%f", &a[i][j]);

}

fscanf(InFile, "%f", &b[i]);

}

}

void printmatrix(){

//print matrix "a"

int i=0,j=0;

printf("\n");

for(i=0; i<N; i++){

for(j=0; j<N; j++){

printf(" %+f*X%d", a[i][j], j);

}

printf(" =%f\n", b[i]);

}

}

void testsolve(){

//test that ax=b

int i=0,j=0;

printf("\n");

for(i=0; i<N; i++){

float s = 0;

for(j=0; j<N; j++){

s += a[i][j]*x[j];

}

printf("%f\t%f\n", s, b[i]);

}

}

void printresult(){

int i=0;

printf("\n");

printf("Result\n");

for(i=0; i<N; i++){

printf("X%d = %f\n", i, x[i]);

}

}

void diagonal(){

int i, j, k;

float temp=0;

for(i=0; i<N; i++){

if(a[i][i]==0){

for(j=0; j<N; j++){

if(j==i) continue;

if(a[j][i] !=0 && a[i][j]!=0){

for(k=0; k<N; k++){

temp = a[j][k];

a[j][k] = a[i][k];

a[i][k] = temp;

}

temp = b[j];

b[j] = b[i];

b[i] = temp;

break;

}

}

}

}

}

void cls(){

for(int i=0; i<25; i++) printf("\n");

}

void main(){

int i=0,j=0, k=0;

cls();

do{

printf("\nInput filename: ");

scanf("%s", filename);

InFile = fopen(filename, "rt");

}while(InFile==NULL);

count_num_lines();

allocmatrix();

rewind(InFile);

//read data from file

readmatrix();

//check if there are 0 on main diagonal and exchange rows in that case

diagonal();

fclose(InFile);

printmatrix();

//process rows

for(k=0; k<N; k++){

for(i=k+1; i<N; i++){

if(a[k][k]==0){

printf("\nSolution is not exist.\n");

return;

}

float M = a[i][k] / a[k][k];

for(j=k; j<N; j++){

a[i][j] -= M * a[k][j];

}

b[i] -= M*b[k];

}

}

printmatrix();

for(i=N-1; i>=0; i--){

float s = 0;

for(j = i; j<N; j++){

s = s+a[i][j]*x[j];

}

x[i] = (b[i] - s) / a[i][i];

}

InFile = fopen(filename, "rt");

readmatrix();

fclose(InFile);

printmatrix();

testsolve();

printresult();

freematrix();

}

Поскольку весь метод уже описан, коротко опишу, как эта программа получает уравнения на вход, что выдает в результате решения.

Чтобы воспользоваться этой программой, нужно запустить скомпилированный исполняемый файл. В первую очередь программа спросит, откуда ей брать коэффициенты для уравнений. Создайте в любом текстовом редакторе (но только не в Word-е а, например в notepad-е) файл, где напишите коэффициенты уравнений построчно через пробел, приблизительно так:

Например:

Этот файл необходимо создать в той директории, где лежит программа, иначе она его не найдет. В результате работы программы, она выдаст результат, нечто вроде:

X0 = 3.000000 X1 = 1.000000 X2 = 2.000000

Это и есть решение системы уравнений, т.е. набор неизвестных Х.

Коротко опишем, для чего служит такое большое количество подпрограмм в данной программе:

• void count_num_lines() - подсчитывает количество уравнений в системе

• void allocmatrix() - выделяет память для массивов для хранения коэффициентов уравнений, свободных членов и решения

• void readmatrix() - прочитывает из файла коэффициенты и свободные члены в массивы

• void printmatrix() - распечатывает систему уравнений

• void diagonal() - делает так, чтобы на главной диагонали не было нулей, чтобы не пришлось однажды делить на ноль в процессе приведения матрицы к треугольному виду

• void testsolve() - подставляет решение в систему и распечатывает рядом то, что получается в левой части уравнения и для сравнения печатает рядом свободные члены, те, что в правой части уравнения; получившиеся два столбца должны совпадать, если уравнения решены правильно

• void printresult() - распечатывает получившийся столбец решений

• void freematrix() - освобождает память, которая была выделена ранее

• void cls() - стирает экран в начале работы программы

• void main() - основная функция из которой последовательно вызываются все вышеперечисленные функции, и проходит процесс приведения системы уравнений к треугольному виду и обратная прогонка.

Программа снабжена комментариями, что облегчает ее понимание.

Надеюсь, что вам стало все понятно.