Курсовая работа (т): Разработка модели заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрема в среде программирования Delphi

Изложенные эпизоды полета и диаграммы на рис. 1.8 должны быть не более чем фрагментом некоего целого. Диаграмму Пенроуза для заряженной черной дыры необходимо дополнить по крайней мере одним экземпляром другой Вселенной, противоположной нашей, которая достижима лишь по (запрещенным) пространственноподобным мировым линиям. Такой вывод основывается на нашем правиле 1: если удалить из черной дыры ее заряд, то диаграмма Пенроуза должна свестись к изображению решения Шварцшильда. И хотя никто из нашей Вселенной никогда не сможет проникнуть в эту "другую" Вселенную ввиду невозможности двигаться быстрее света, мы все же можем себе представить космонавта из той, другой Вселенной, путешествующего к той же самой заряженной черной дыре. Его возможные мировые линии изображены на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Другой участок диаграммы Пенроуза. Этот новый участок диаграммы Пенроуза для решения Райснера-Нордстрёма можно построить, рассматривая возможные мировые линии космонавта из чужой Вселенной.

Такое путешествие чужого космонавта из другой Вселенной выглядит совершенно так же, как путешествие космонавта, вылетевшего из нашей Вселенной, с Земли. Чужая Вселенная также изображается на диаграмме Пенроуза привычным треугольником. По пути к заряженной черной дыре чужой космонавт пересекает внешний горизонт событий, который должен иметь наклон 45 градусов. Позднее он опускается и под внутренний горизонт событий, также с наклоном 45 градусов. Чужак стоит теперь перед выбором: либо разбиться о временноподобную сингулярность (она вертикальна на диаграмме Пенроуза), либо свернуть и снова пересечь внутренний горизонт событий. Чтобы избежать прискорбного конца, чужак решает покинуть черную дыру и выходит через внутренний горизонт событий, который, как обычно, имеет наклон 45 градусов. Затем он пролетает и через внешний горизонт событий (наклоненный на диаграмме Пенроуза на 45 градусов) в новую Вселенную будущего.

Каждое из этих двух гипотетических путешествий охватывает только две части полной диаграммы Пенроуза. Полная же картина получается, если просто объединить эти части друг с другом, как показано на рис. 1.10.

Рис. 1.10. Полная диаграмма Пенроуза для черной дыры Райснера-Нордстрёма (М > > |Q|). Полную диаграмму Пенроуза для черной дыры, имеющей малый или умеренный заряд (М > |Q|), можно построить, соединяя участки, изображенные на рис. 1.8 и1.9. Эта диаграмма повторяется до бесконечности как в будущее, так и в прошлое.

Такая диаграмма должна быть повторена бесконечное число раз в будущее и в прошлое, поскольку каждый из рассмотренных двух космонавтов мог бы решить снова покинуть ту Вселенную, в которой он вынырнул, и опять отправиться в заряженную черную дыру. Таким образом, космонавты могут проникнуть в другие Вселенные, еще более удаленные в будущее. Точно так же мы можем представить себе, как другие космонавты из Вселенных в отдаленном прошлом прибывают в нашу Вселенную. Поэтому полная диаграмма Пенроуза повторяется в обе стороны во времени, подобно длинной ленте с повторяющимся трафаретным рисунком. В целом глобальная геометрия заряженной черной дыры объединяет бесконечное число Вселенных в прошлом и в будущем с нашей собственной Вселенной. Это так же удивительно, как и то, что, используя заряженную черную дыру, космонавт может осуществлять перелеты из одних Вселенных в другие. Такая невероятная картина тесно связана с представлением о белой дыре, которое будет обсуждаться в одной из следующих глав.

Только что описанный подход к выяснению глобальной структуры пространства-времени касался случая черных дыр с малым или небольшим зарядом (М>|Q|). Однако в случае предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма (когда М=|Q|) заряд оказывается настолько большим, что внутренний и внешний горизонты сливаются друг с другом. Такое объединение двух горизонтов событий приводит к ряду интересных последствий.

Вспомним, что вдали от заряженной черной дыры (вне внешнего горизонта событий) пространственноподобное направление параллельно пространственной оси, а временноподобное параллельно оси времени. Вспомним также, что вблизи сингулярности (под внутренним горизонтом событий - после того, как пространство и время дважды поменяются ролями) пространственноподобное направление снова параллельно пространственной оси, а временноподобное - оси времени. По мере того как заряд черной дыры Райснера-Нордстрема все больше и больше увеличивается, область между двумя горизонтами событий все уменьшается и уменьшается. Когда же, наконец, заряд возрастает настолько, что М=|Q|, эта промежуточная область сожмется до нуля. Следовательно, при переходе через объединенный внешне - внутренний горизонт событий пространство и время не меняются ролями. Конечно, можно с тем же успехом говорить и о двукратной смене ролей у пространства и времени, происходящей одновременно на единственном горизонте событий предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма. Как показано на рис. 1.11, временноподобное направление в ней повсюду параллельно оси времени, а пространственноподобное - везде параллельно пространственной оси.

Рис. 1.11. Диаграмма пространства-времени для предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма (М=|Q|). Когда заряд черной дыры становится столь велик, что М=|Q|, внутренний и внешний горизонты событий сливаются. Это значит, что при переходе через получившийся (двойной) горизонт смены ролей у пространства и времени не происходит.

Хотя у предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма имеется только один горизонт событий, положение здесь совсем иное, чем в случае шварцшильдовской черной дыры, у которой горизонт событий тоже всего один. При одиночном горизонте событий всегда имеет место смена ролей пространственно- и временноподобных направлений, как это видно на рис. 1.12. Однако у предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма горизонт событий можно трактовать как "двойной", т.е. как наложенные друг на друга внутренний и внешний горизонты. Именно поэтому смены ролей пространства и времени не происходит.

Рис. 1.12. Диаграмма пространства-времени для шварцшильдовской черной дыры (|Q|=0). Хотя у шварцшильдовской черной дыры (не имеющей заряда) есть лишь один горизонт событий, при переходе с одной его стороны на другую пространство и время меняются ролями. (Ср. с рис. 1.11.)

Факт слияния внешнего и внутреннего горизонтов событий у предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма означает, что требуется новая диаграмма Пенроуза. Как и прежде, ее можно построить, рассматривая мировую линию гипотетического космонавта. При этом список правил остается прежним, за тем существенным исключением, что при пересечении горизонта событий пространство и время не меняются ролями. Представим себе космонавта, вылетающего с Земли и падающего в предельную черную дыру Райснера-Нордстрёма. Наша Вселенная, как обычно, изображается в виде треугольника на диаграмме Пенроуза. После погружения под горизонт событий космонавт волен сделать выбор: он может либо врезаться в сингулярность, которая временноподобна, а потому должна изображаться вертикально на диаграмме Пенроуза, либо (рис. 1.13) увести свой космический корабль от сингулярности по разрешенной временноподобной мировой линии.

Рис. 1.13. Диаграмма Пенроуза для предельной черной дыры Райснера-Нордстрёма (М=|Q|). Диаграмму глобальной структуры пространства-времени можно построить, если рассмотреть возможные мировые линии космонавта, ныряющего в предельную черную дыру Райснера-Нордстрёма и выныривающего из нее.

Если он выбрал второй путь, то позднее он снова пересечет горизонт событий, выходя в другую Вселенную. Перед ним снова встанет альтернатива - остаться в этой будущей Вселенной и слетать на какие-нибудь планеты или повернуть назад и снова отправиться в черную дыру. Если космонавт повернет обратно, он продолжит свой путь вверх по диаграмме Пенроуза, посещая любое число Вселенных будущего. Полная картина представлена на рис. 1.13. Как и прежде, диаграмма повторяется бесконечное число раз в прошлое и в будущее, подобно ленте с повторяющимся трафаретным рисунком.

С точки зрения математики допустима и черная дыра с огромным зарядом М<|Q|; правда, она не имеет смысла с точки зрения физики. В этом случае горизонты событий попросту исчезают, остается лишь "голая" сингулярность. Ввиду отсутствия горизонтов событий не может быть и речи о каком-то обмене ролями между пространством и временем. Сингулярность просто находится у всех на виду. "Голая" сингулярность - это не закрытая никакими горизонтами область бесконечно сильно искривленного пространства-времени.

Если космонавт, вылетев с Земли, устремляется к "голой" сингулярности, ему не приходится опускаться под горизонт событий. Он остается все время в нашей Вселенной. Вблизи сингулярности на него действуют мощные отталкивающие гравитационные силы. Располагая достаточно мощными двигателями, космонавт при некоторых условиях смог бы врезаться в сингулярность, хотя это - чистейшее безумие с его стороны.

Рис. 1.14. "Голая" сингулярность. У "голой" сингулярности (М<|Q|) горизонтов событий нет. Черная дыра этого типа не связывает нашу Вселенную с какой-либо другой Вселенной.

Простое падение на сингулярность - ни с какой другой Вселенной "голая" сингулярность нашу Вселенную не связывает. Как и в случае любых других заряженных черных дыр, здесь сингулярность также временноподобна и поэтому должна изображаться на диаграмме Пенроуза вертикалью. Поскольку, кроме нашей Вселенной, других Вселенных теперь нет, то диаграмма Пенроуза для "голой" сингулярности выглядит совсем просто. Из рис. 1.14 видно, что наша Вселенная, как обычно, изображается треугольником с пятью бесконечностями, ограниченным слева сингулярностью. Что бы ни находилось левее сингулярности, отрезано от нас полностью. Через сингулярность никто и ничто не могут пройти.

Поскольку у реальных черных дыр могут быть лишь очень слабые заряды (если они есть у них вообще), то значительная часть описанного выше представляет лишь академический интерес. Однако мы в результате установили безотказно действующие правила построения сложных диаграмм Пенроуза.

Глава 2. Разработка модели заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрема в среде программирования Delphi

.1 Математическое описание модели

где метрический коэффициент B(r) определяется так:

Это выражение в геометрических единицах, где скорость света и постоянная тяготения Ньютона обе равны единице, C = G = 1. В условных единицах, .

Горизонты сходятся в случае, когда метрический коэффициент B(r) равен нулю, что происходит на внешних и внутренних горизонтах r₊ и r_-:

С точки зрения расположения горизонта r_± , метрический коэффициент B(r) определяется так:

На рисунке 2.1 изображена диаграмма пространства Райсснера-Нордстрема. Это схема пространства геометрии Райсснера-Нордстрема. Горизонтальная ось представляет радиальное расстояние, а вертикальная ось представляет время.

Две вертикальные красные линии - это внутренние и внешние горизонты, на радиальных позициях r₊ и r_-. Желтые линии и линии цвета охра - мировые линии световых лучей, движущихся радиально внутрь и наружу соответственно. Каждая точка на радиусе r на диаграмме пространства-времени представляет собой 3-мерную пространственную сферу окружности , как измеряется наблюдателями в покое в геометрии Райсснера-Нордстрема. Темно-фиолетовые линии - линии постоянного времени Райсснера-Нордстрема, в то время как вертикальные синие линии - линии постоянной окружности радиуса r. Ярко-синяя линия отмечает нулевой радиус, r = 0.

Рис. 2.1. Схема пространства Райсснера-Нордстрема

Как и геометрии Шварцшильда, геометрия Райсснера-Нордстрем проявляет плохое поведение на своих горизонтах с лучами света, стремящихся к асимптотам на горизонтах, не проходя через них. Опять же, патология является признаком статической системы координат. Падающие лучи света на самом деле проходят через горизонты, и не имеют особенностей на любом горизонте.

Как и в геометрии Шварцшильда, существуют системы, которые ведут себя лучше на горизонтах, и которые показывают более четко физику геометрии Райсснера-Нордстрема. Одной из этих систем координат является система координат Финкельштейна.

Рис. 2.2. Схема пространства Финкельштейна для геометрии Рейсснера-Нордстрема

Как обычно, радиальная координата Финкельштейна r является радиусом окружности, определяемая так, что соответствующая окружность шара на радиусе r является 2πr , в то время как временная координата Финкельштейна определяется таким образом, чтобы радиально падающие лучи света (желтые линии) двигались под углом 45^о на диаграмме пространства-времени.

Время Финкельштейна t_F связано с временем Рейсснера-Нордстрема t по следующему выражению:

где g_± = g(r_±) являются поверхностными гравитационными на двух горизонтах

Гравитационная g(r) при радиальной позиции r является внутренним ускорением

Окраска линий, как и в случае шварцшильдовской черной дыры: красная линия горизонта, голубая линия - линия при нулевом радиусе, желтые и охра линии являются соответственно мировыми линиями для радиально падающих и исходящих лучей света, в то время как темных пурпурные и голубые линии - соответственно линии постоянного времени Шварцшильда и постоянной радиуса окружности.

Рассмотрим модель водопада пространства Райсснера-Нордстрема. Модель водопада хорошо работает для заряженной черной дыры геометрии Райсснера-Нордстрема. Тем не менее, в то время как в геометрии Шварцшильда водопад падает с все возрастающей скоростью на всем пути к центральной сингулярности, в геометрии Райсснера-Нордстрема водопад замедляется, благодаря гравитационному отталкиванию, производимым напряженностью или отрицательным давлением, электрического поля.

Водопад Райсснера-Нордстрема описывается точно такой же метрикой Гулстранда-Пайнлива как для метрики Шварцшильда, но масса М для космической скорости заменяется массой М(r) внутреннего радиуса r:

Рис 2.3. Водопад Райсснера-Нордстрема.

Внутренняя масса М(r) равна массе М как видно на бесконечности, минус масса-энергия Q²/ (2r) в электрическом поле

Электромагнитная масса Q²/ (2r) - это масса вне r, связанная с плотностью энергии Е²/(8π) электрического поля Е = Q/r², окружающее заряд Q.

Скорость входящего пространства v превышает скорость света с на внешнем горизонте r₊= M + (M² - Q²)^1/2, но замедляется до меньшей скорости, чем скорость света на внутреннем горизонте r_-= M - (M² - Q²)^1/2. Скорость замедляется вплоть до нулевой точки r₀= Q²/(2М) внутри внутреннего горизонта. В этой точке пространство оборачивается и ускоряется обратно, доходя до скорости света еще раз на внутреннем горизонте r_-. Пространство теперь входит в белую дыру, где пространство движется наружу быстрее, чем свет. Рис. 2.3 демонстрирует белую дыру в том же месте, что и черная дыра, но на самом деле, как это видно по диаграмме Пенроуза, белая дыра и черная дыра - это различные области пространства-времени. Пока пространство падает наружу в белой дыре, гравитационное отталкивание, производимое отрицательным давлением электрического поля, ослабевает по отношению к гравитационному притяжению массы. Исходящее пространство замедляется до скорости света на внешнем горизонте r₊ белой дыры. Это пространство выходит в новой области пространства-времени, возможно в новой вселенной.

.2 Результаты моделирования заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрема в среде программирования Delphi

Моделирование проводилось по блочному методу. Программа работает в пяти режимах, в которых возможен просмотр пространства черной дыры с разных точек зрения.

. Просмотр строения черной дыры. Позволяет моделировать изменение положения внутреннего и внешнего горизонтов в зависимости от заряда черной дыры. При минимальном заряде Q = 0 наблюдается только один внешний горизонт как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Внешний горизонт черной дыры при нулевом заряде.

При увеличении заряда появляется внутренний горизонт. При этом внешний горизонт сжимается по мере увеличения внутреннего горизонта. Увеличить заряд можно, перетащив маркер ползунка до желаемого положения (см. рис. 2.5).

Рис. 2.5. Внешний и внутренний горизонты черной дыры при наличии заряда.

При увеличении заряда до значения, равного массе черной дыры, внутренний и внешний горизонты сливаются в один, как показано на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Внешний и внутренний горизонты сливаются в один при значении заряда равного массе черной дыры.

При превышении значения заряда массы черной дыры, горизонты исчезают, и открывается голая сингулярность.

Рис. 2.7. Диаграмма пространства геометрии Райсснера-Нордстрема при нулевом заряде.

Две вертикальные красные линии - это внутренние и внешние горизонты_. Желтые линии - мировые линии световых лучей, движущихся радиально внутрь снизу-вверх, линии цвета охра - мировые линии световых лучей, движущихся радиально наружу также снизу-вверх.

Смена направленности (сверху-вниз) желтых входящих лучей между двумя горизонтами демонстрирует смену пространства и времени на внешнем и внутреннем горизонтах, которое происходит дважды.

Входящие желтые лучи света имеют асимптоты на горизонтах, что не отражает реальной картины из-за особенностей геометрии Райсснера-Нордстрема. На самом деле они проходят через горизонты, и не имеют на них асимптот.

Рис. 2.8. Диаграмма пространства геометрии Райсснера-Нордстрема при наличии заряда.

Темно-фиолетовые линии - линии постоянного времени Райсснера-Нордстрема, в то время как вертикальные синие линии - линии постоянной окружности радиуса r. Зеленая линия обозначает сингулярность.

Рис. 2.9. Диаграмма пространства геометрии Райсснера-Нордстрема при максимальном заряде.

При слиянии двух горизонтов мы можем видеть, что смены пространства и времени не происходит.

. Моделирование пространства Финкельштейна для геометрии Рейсснера-Нордстрема. Данный режим позволяет увидеть направления входящих и исходящих лучей света геометрии Райсснера-Нордстрема в координатах Финкельштейна. По мере изменения заряда картина меняется. Изменение лучей света можно проследить на рис. 2.10, 2.11 и 2.12.

Рис. 2.10. Диаграмма пространства Финкельштейна для геометрии Райсснера-Нордстрема при нулевом заряде.

Две вертикальные красные линии - это внутренние и внешние горизонты_. Желтые линии - мировые линии световых лучей, движущихся радиально внутрь снизу-вверх, линии цвета охра - мировые линии световых лучей, движущихся радиально наружу также снизу-вверх. Темно-фиолетовые линии - линии постоянного времени Шварцшильда, в то время как вертикальные синие линии - линии постоянной окружности радиуса r. Зеленая линия обозначает сингулярность.

Данное направление лучей демонстрирует реальную картину направления входящих и исходящих лучей света. Позиция удаленного наблюдателя находится справа. Удаленный наблюдатель никогда не увидит, что происходит за внешним горизонтом, так как исходящие лучи света цвета охра, направленные снизу-вверх, сильно отклоняются под действием сил гравитации и будут очень сильно запаздывать во времени.

Рис. 2.11. Диаграмма пространства Финкельштейна для геометрии Райсснера-Нордстрема при наличии заряда.

В нормальном состоянии, без действия сил гравитации они должны выходить под углом 45 градусов, также как и входящие лучи света.

Рис. 2.12. Диаграмма пространства Финкельштейна для геометрии Райсснера-Нордстрема при максимальном заряде.

. Моделирование водопада пространства Райсснера-Нордстрема. Данный режим позволяет увидеть движение пространства из нашей вселенной в другую вселенную подобно водопаду, падающему из нашей вселенной и выходящему в другой вселенной. Изменяя заряд, продемонстрируем поведение лучей света. Поведение лучей света можно проследить на рис. 2.13, 2.14 и 2.15.

Рис. 2.13. Движение водопада пространства при отсутствии заряда.

Рис. 2.14. Движение водопада пространства при наличии умеренного заряда.

Голубым цветом обозначены входящие лучи в нашей вселенной, синим цветом - исходящие лучи в другой вселенной. Точка белого цвета - это сингулярность, две окружности розового и красного цвета определяют внутренний и внешний горизонт соответственно.

При нулевом заряде характер движения лучей света подобен движению для черной дыры Шварцшильда. Лучи света поглощаются сингулярностью в центре и никуда не выходят, как показано на рис. 2.13.

Рис. 2.15. Движение водопада пространства при максимальном заряде.

При наличии заряда лучи света входят из нашей вселенной и выходят в другой, так как вокруг сингулярности образуется поле антигравитации, которое отталкивает любые объекты (см. рис. 2.14 и 2.15).

. Построение диаграммы Пенроуза для черной дыры Райсснера-Нордстрема. В этом режиме можно увидеть повторяющиеся трафареты нашей и других вселенных.

На рисунках 2.16, 2.17 и 2.18 белым цветом обозначена внешняя вселенная, зеленым цветом - сингулярность, розовый и красный цвет определяют внутренний и внешний горизонты. Голубой цвет означает траекторию движения объекта из вселенных прошлого во вселенные будущего.

Рис. 2.16. Диаграмма Пенроуза для черной дыры Райсснера-Нордстрема при отсутствии заряда, которая преобразуется в Шварцшильдовскую черную дыру.

Рис. 2.17. Диаграмма Пенроуза для черной дыры Райсснера-Нордстрема при наличии умеренного заряда.

Мы видим, что объект может путешествовать из одной вселенной в другую, пересекая по два горизонта в черной и белой дыре.

Рис. 2.18. Диаграмма Пенроуза для предельной черной дыры Райсснера-Нордстрема при наличии максимального заряда.

В случае предельно-заряженной черной дыры, два горизонта сливаются и частица пересекает только один горизонт, при пересечении которой смена времени и пространства не происходит, и частица попадает во вселенную будущего.

Таким образом, было выполнено физическое моделирование заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрема в пяти режимах.

Заключение

В литературе, посвященной физике черных дыр описание черных дыр Райсснера-Нордстрема строго формализовано и носит, в основном, теоретический характер. Кроме того, астроном, наблюдающий за небесными телами, никогда не увидит строение заряженной черной дыры. Недостаточная освещенность данного вопроса и, невозможность физического наблюдения заряженных черных дыр, стали основой исследования работы.

В настоящее время под чёрной дырой принято понимать область в пространстве, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть её не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света. Граница этой области называется горизонтом событий, а ее радиус (если она сферически симметрична) называют гравитационным радиусом.

Релятивистская теория тяготения была создана, в основном, Эйнштейном и получила название общей теории относительности (ОТО). Именно на ней и основывается современная теория астрофизических чёрных дыр. Связь искривления пространства-времени с характером распределения и движения заключающихся в нём масс даётся основными уравнениями теории - уравнениями Эйнштейна.

Моделирование проводилось по блочному методу в среде программирования Delphi 2009. Программа работает в пяти режимах, в которых возможен просмотр пространства черной дыры с разных точек зрения.

1. Просмотр строения черной дыры. Позволяет моделировать изменение положения внутреннего и внешнего горизонтов в зависимости от заряда черной дыры.

. Моделирование диаграммы пространства в Райсснера-Нордстрема. Данный режим позволяет увидеть изменение направлений входящих и исходящих лучей света, представленных в геометрии Райсснера-Нордстрема.

. Моделирование пространства Финкельштейна для геометрии Рейсснера-Нордстрема. Данный режим позволяет увидеть направления входящих и исходящих лучей света геометрии Райсснера-Нордстрема в координатах Финкельштейна, которые удобны тем, что отображают реальную картину для лучей света на горизонтах событий.

4. Моделирование водопада пространства Райсснера-Нордстрема. Данный режим позволяет увидеть движение пространства из нашей вселенной в другую вселенную подобно водопаду, падающему из нашей вселенной и выходящему в другую вселенную.

. Построение диаграммы Пенроуза для черной дыры Райсснера-Нордстрема. В этом режиме можно увидеть повторяющиеся трафареты нашей и других вселенных.

Таким образом, было выполнено физическое моделирование заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрема

Список использованной литературы

1.      Guidry. M. General Relativity, Black Holes, and Cosmology, 2012. Электронный ресурс: <http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro490/>

.        Michael Quinion. Black Hole. World Wide Words.

.        Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. М. МГУ. 1986

.        Ж-П. Люмине, Черные дыры: Популярное введение. Пер. с фран. - М., Электронный ресурс: <http://www.astronet.ru/db/msg/1180462/index.html>

.        Малышев А.И. Невидимая вселенная: УМП. - Нижний Новгород: НГУ, 2008. - 26 с.

.        Мизнер Ч., Торн, К. Уилер Дж. Гравитация. Т.3. М. Мир. 1977.

.        Моше Д. Астрономия: Книга для учащихся. Пер. с англ./ Под ред. А.А. Гурштейна. - М.: Просвещение, 1985. - 255 с.

.        Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. М. Наука. 1986.

.        Сергей Попов. Экстравагантные консерваторы и консервативные эксцентрики //Троицкий Вариант: газета. - 27 октября 2009. - В. 21 (40N). - С. 6-7.

.        У. Дж. Кауфман Космические рубежи теории относительности. - 1977. Электронный ресурс: <http://www.astronet.ru/db/msg/1174703/kaufman-10/kaufman-10.html>

.        Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-чч. Пер. с англ. - М.: мир, 1986, 276 с.

.        Черная дыра. Википедия. Электронный ресурс: http://ru.wikipedia.org/wiki/Черная дыра <http://ru.wikipedia.org/wiki/Черная%20дыра>

.        Чёрная дыра. Энциклопедия Кругосвет. Электронный ресурс: <http://www.krugosvet.ru/>

.        Чёрные дыры: Мембранный подход, 1988, с. 9.