Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова
Направление 01.03.04 «Прикладная математика»
Выпускная квалификационная работа
Тема:
Разработка алгоритмов компьютерного моделирования механических испытаний на сжатие с плоской деформацией
Студент В.В. Миколаенко
Руководитель к.т.н.,
доцент С.А. Аксёнов
Москва 2018 г.
Аннотация
Работа посвящена математическому моделированию пластического формоизменения материала в условиях, близких к плоско-деформированному состоянию. Эти условия реализуются, например, в технологических процессах листовой прокатки и при механических испытаниях, моделирующих такие процессы. Моделирование таких процессов, зачастую, осуществляют, решая плоскую задачу формоизменения методом конечных элементов. Такой подход, по сравнению с трехмерным моделированием, позволяет существенно экономить время расчета за счет игнорирования неравномерности поперечного уширения образца. В работе предлагается использовать для моделирования таких процессов призматические элементы с уменьшенным числом степеней свободы, что с одной стороны позволит оперативно решать задачи формоизменения, а с другой - принять во внимание уширение деформируемого объекта. Предложенный подход реализован в разработанных в рамках работы программных компонентах и применен для моделирования испытаний на сжатие с плоской деформацией.
Abstract
Design and Implementation of Algorithms for Computer Simulation of Plane Strain Compression Test
The work is devoted to mathematical modeling of the plastic material shaping under conditions close to the plane-strain state. For example, these conditions are realized in the technological processes of sheet rolling and in mechanical tests simulating such processes. The modeling of such processes is often carried out by solving the flat problem of material shaping by the finite element method. This approach, in comparison with three-dimensional modeling, makes it possible to significantly save the calculation time by ignoring the nonuniformity of the cross widening of the sample. It is proposed to use prismatic elements with a reduced number of degrees of freedom. This approach will make it possible to solve the problem of material shaping for quite a short calculation time taking into account widening of the sample. The proposed approach is implemented in the software components within this work and is used to simulate plane strain compression test.
Оглавление
Введение
Испытанием на сжатие с плоской деформацией называется процесс осадки прямоугольного образца узкими бойками, проиллюстрированный на рис. 1 [1]. Поскольку бойки значительно уже образца боковому уширению материала препятствует влияние, так называемых, жестких концов - участков образца, не контактирующих с деформирующим инструментом. Такие испытания, зачастую, применяются для физического моделирования технологических процессов листовой прокатки и для исследования механического поведения материалов, подвергаемых горячей деформации. Интерпретация результатов тестов на сжатие с плоской деформацией осложняется неоднородностью скорости деформации в объёме образца, распределением температуры в образце, трением между бойками и образцом и боковым уширением образца.
Рис. 1 Механическое испытание образца на сжатие с плоской деформацией
Задача компьютерного моделирования испытаний на сжатие с плоской деформацией возникает при обратном анализе экспериментальных данных для построения модели поведения материала [2-5], процедура которого изложена в работе [6]. Поскольку при решении обратной задачи моделирование необходимо проводить многократно с различными входными параметрами, скорость расчета играет ключевую роль. В работе [6] с целью ускорения расчета задача формоизменения ставится и решается в обобщенно-плоской постановке с применением специальных эмпирических коррекций для учета бокового уширения. В данной работе предлагается за счет применения специальных конечных элементов смоделировать боковое уширение образца с помощью увеличения размерности задачи на одну треть.
Применение компьютерного моделирования для решения подобного рода задач позволяет оптимизировать энергопотребление производства, предотвращать дефекты продукта, снижать нагрузки на оборудование, уменьшать расход материала и решать многие другие технологические задачи [7-13].
Целью работы является реализация алгоритмов численного решения задачи формоизменения образца, подвергаемого испытанию на сжатие с плоской деформацией.
Задачи работы:
1) Осуществить математическую постановку задачи формоизменения материала в ходе испытания на сжатие с плоской деформацией;
2) Разработать алгоритмы построения матрицы жесткости для реализации вычислений с помощью метода конечных элементов с использованием призматических элементов с уменьшенным числом степеней свободы;
3) Реализовать разработанные алгоритмы в форме программных компонент системы имитационного моделирования процессов обработки материалов давлением;
4) Выполнить тестовые расчеты по моделированию испытания на сжатие с плоской деформацией.
Результаты работы могут оказаться полезными для решения проблем по идентификации свойств материала на металлургическом производстве.
Глава 1. Математическая постановка задачи о медленном формоизменении твёрдого тела
При рассмотрении твёрдого тела, подвергающегося механической деформации, задача математического моделирования формоизменения твёрдого тела заключается в построении вектор функции описывающей скорости частиц внутри его объёма [14]. В рассматриваемой задаче на границе твёрдого тела могут быть заданы следующие три типа граничных условий (рис. 2):
Рис. 2. Граничные условия
1)
2)
3)
(1)
где - компоненты тензора напряжений;
- компоненты нормали к поверхности в рассматриваемой точке;
- фрагменты контура тела, на которых заданы граничные условия,
- вектор распределённых поверхностных сил, действующих на фрагмент границы
, - единичные вектора, соответствующие ортам декартовой системы координат,
- компоненты скорости перемещения частиц среды, - скорости перемещения, заданные на фрагмент границы .
На границе в каждом направлении по осям декартовой системы координат должно быть задано динамическое граничное условие, либо кинетическое.
При проведение механического испытания формоизменение происходит при малых скоростях деформации, при чём изменение этих скоростей в процессе механического испытания происходит достаточно медленно, аналогично подавляющему большинству деформационных процессов при обработки металла давлением на производстве. В связи с этим, динамические силы, вызванные изменением скорости, считаются малыми по сравнению с вязким сопротивлением деформации, что позволяет не учитывать динамические силы.
При такой постановке решается квазистатическая задача, то есть моделирование осуществляется итерационно, а именно: весь временной интервал, в котором решается задача, разбивается на малые подыинтервалы времени ?t. На каждом из подынтервалов считается, что скорость перемещений не изменяется, соответственно на каждом шаге выполняется уравнение равновесия:
(2)
где - напряжение.
Чтобы построить систему уравнений, для поиска вектор функции , необходимо связать напряжения со скоростями перемещения частиц среды:
(3)
где - компоненты тензора напряжений;
- скорости перемещения частиц среды;
- кажущийся коэффициент вязкости;
- символ Кронекера:
(4)
- накопленное гидростатическое напряжение:
(5)
где - коэффициент объёмного сжатия;
- относительное изменение объёма.
Итого, система уравнений, описывающая формоизменение материала:
6)
Глава 2. Конечно элементное решение и проблемы его классического применения
На данный момент существует метод, позволяющий реализовать численное решение механического испытания на сжатие с плоской деформацией: метод конечных элементов [15].
Основное уравнение метода конечных элементов:
(7)
где - матрица жёсткости элементов, на которые разбит образец;
- вектор скоростей перемещения узловых точек элементов, на которые разбит образец; силы, входящие в правую часть:
{R} - сосредоточенные внешне силы (в нашем случае = 0);
- действие равномерно распределённых нагрузок интенсивности (в нашем случае = 0);
- действие массовых сил (в нашем случае = 0);
- вклад гидростатического давления;
В 2D случае: скорости перемещения в любой точке внутри треугольных элементов (рис. 3) разбиения задаются вектор-столбцом:
(8)
где; - скорости перемещения узловых точек элемента разбиения ;
- функции положения (при чём в случае, если рассматриваемая точка принадлежит элементу , иначе ):
(9)
;
; ; ;
; ; ; (10)
(11)
где - координаты узлов ;
- площадь треугольника.
Рис. 3. Треугольный конечный элемент
Связь между скоростями деформации и скоростями перемещения :
(12)
Пользуясь уравнением (8) скорости деформации в матричном виде могут быть записаны следующим образом:
(13)
Матрица из уравнения (13) состоит из трёх подматриц , каждая из которых имеет размерность . Зная вид функций формы из уравнения (9), можно определить компоненты каждой из подматриц:
(14)
Связь между напряжениями и скоростями деформации , характеризующая физическое состояние среды, исходя из уравнения (3), описывается соотношением:
(15)
где - накопившиеся напряжения в материале к рассматриваемому моменту времени, определяемые с помощью анализа истории нагружения материала. Уравнение (15) описывается подробнее таким образом:
(16)
где - коэффициент объёмного сжатия;
- кажущийся коэффициент вязкости, который есть функция интенсивности скорости деформации и зависит от ряда физических параметров;
- накопленное гидростатическое давление;
- характеризует скорость изменения объёма:
(17)
Обзначим , тогда матрица и вектор , исходя из уравнений (15-16), имеют вид:
(18)
Матрица жёсткости -го элемента (размерность 6x6) имеет вид:
(19)
где каждый из компонентов - подматрица, имеющая размерность 2x2:
(20)
Принимается, что высота элемента
Вклад гидростатического давления:
(21)
В случае если поставленная задача рассматривается в плоскости, заданной осями X и Y (рис. 1), то программный компонент, реализующий решение поставленной задачи методом, описанным выше (2D случай), позволяет проводить вычисления с достаточно высокой скоростью для обратного анализа. Однако, точность результатов анализа недостаточная, так как при таком подходе не учитывается формоизменения образца по оси Z.
В 3D случае: количество элементов разбиения становится гораздо больше, чем в 2D случае, что позволяет проводить вычисления с достаточно высокой точностью. Однако, время, затраченное на вычисления, слишком велико из-за большого количества элементов, что не позволяет проводить обратный анализ в реальном времени.
Проблемы указанных выше подходов могут быть решены с помощью использования в качестве базовых элементов разбиения образца элементы призматической формы. При таком подходе количество элементов будет таким же, как и в 2D случае (что обеспечит достаточно высокую скорость вычисления), а так же удастся учесть трение между образцом и установкой, распределение температуры в образце и формоизменения образца по оси Z (что приведёт к увеличению точности).
Глава 3. Описание решения поставленной задачи с помощью призматических элементов
Рассмотрим призматический конечный элемент с узловыми точками , где лежат в плоскости заданной осями и , а отрезки , , расположены параллельно оси Z (рис. 4).
Рис. 4. Призматический конечный элемент
Для решения задачи, следующие гипотезы допускаются верными:
1) Скорость перемещения частиц изменяется по Z линейно;
2) Скорость перемещения частиц по X и Y не зависят от Z.
В качестве базового элемента разбиения принимается призматический элемент (рис. 4) количество степеней которого 9, аналогично тетраэдрному, так как узлы не вносят дополнительных степеней свободы. Скорости узлов равны скоростям узлов соответственно, (согласно первой гипотезе), а скорости узлов равны нулю соответственно, так как узлы на протяжении всего испытания остаются в плоскости . Иными словами, идентично соответствуют проекциям узлов .