Контрольная работа: Растяжение-сжатие. Расчет стержня. Кручение. Расчет вала

3. Изгиб. Расчет балки

Условие задачи:

На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки М, F и q (см. рис.). Материал стержня - сталь Ст. 3.

Требуется:

Построить эпюры поперечных сил Q_Y и изгибающих моментов М_X и подобрать сечение балки из расчета на прочность.

Исходные данные:

Таблица 4

Указания:

Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.

Шарнирно-подвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих варианту задания координатах, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.

Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения Q_Y и M_X остаются постоянными.

Длину каждого силового участка обозначаем через l_i.

Решение:

1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции R_A и R_B.

Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А, затем относительно опоры В. При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки - положительными.

Изначально реакции R_A и R_B опор А и В направим вверх.

?М_А = -FЧа - qЧ2aЧ2а + М + R_BЧ3а = 0,

откуда находим реакцию R_B:

R_B = (FЧа +4qa²- М)/3а = (7Ч2 + 4Ч10Ч4 - 5)/(3Ч2) = 28,17 кН.

?М_В = М + qЧ2аЧa + FЧ2а - R_АЧ3а = 0,

откуда находим реакцию R_А:

R_А = (М + 2qa² + 2Fа)/3а = (5 + 2Ч10Ч4 + 2Ч7Ч2)/(3Ч2) = 18,83 кН.

Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:

?F_Y = R_A - F - q2a + R_B = 18,83 - 7 - (10Ч4) + 28,17 = 0.

Опорные реакции найдены правильно, их направление выбрано верно.

2. Разобьем балку на два силовых участка, как показано на рис. и составим уравнения внутренних усилий Q_Y и M_X для каждого участка.

Участок I: 0 ? z₁ ? 2 м.

Q_Y1 = R_A = 18,83 кН;

M_X1 = - R_AЧz₁.

На протяжении силового участка I внутренняя сила остается неизменной и равна реакции R_A опоры А; эпюра внутренних сил на этом участке представляет собой прямую линию, параллельную оси Z с ординатой у = 18,83 кН. В крайнем правом сечении участка эпюра ступенчато изменяется на величину сосредоточенной силы F:

Q_Y1=2м = Q_Y1 = 18,83 - 7 = 11,83 кН;

Изгибающий момент на силовом участке I изменяется по линейной зависимости, поэтому его эпюра имеет вид наклонной прямой. Для того чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в его крайних точках:

Мх_1Z1=0 = 0;

Мх_1Z1=а = -11,83Ч2 = - 23,66 кНм;

Участок II: 2 м ? z₂ ? 6 м.

Q_Y2 = R_A - F - q2а - участок эпюры в виде наклонной прямой:

Q_Y2z=0 = Q_Y1 = R_A - F = 11,83 кН;

Q_Y2z=2a = R_A - F - q2а

Q_Y2z= 18,83 - 7 - 10Ч4 = - 28,17 кН - в последнем сечении силового участка II поперечная сила ступенчато изменяется на величину реакции опоры В до нуля.

Поскольку внутренняя сила на участке поменяла знак на противоположный, то изгибающий момент на этом участке имеет экстремальное значение в сечении с координатой z₂^экст. Определим эту координату.

Q_Y2z^экст = R_A - F - qz₂^экст = 0,

откуда находим:

z₂^экст = (R_A - F)/q = 11,83/10 = 1,183 м.

Изгибающий момент на протяжении участка изменяется криволинейно, при этом в точке z_2экст = 1,183 м он имеет экстремальное значение.

М_Х2 = - R_A (a+z₂) + F z₂ + qЧ z₂²/2.

В крайнем сечении балки изгибающий момент ступенчато изменяется до нуля на величину приложенного к опоре изгибающего момента М = 5 кНм.

М_Х2Z2=0 = - 23,66 (как в последнем сечении второго участка);

M_X2Z2^экст = - 18,83Ч(2+1,183) +7Ч1,183 + 10Ч1,183²/2 = - 44,66 кНм;

M_X2Z2=2а = - 18,83Ч4 +7Ч2 + 10Ч2²/2 = - 41,32 кНм.

M_X2Z2=2а = - 18,83Ч6 +7Ч4 + 10Ч4²/2 = - 5 кНм.

3. Результаты расчетов сводим в таблицу 5 и строим эпюры внутренних сил Q_Y и изгибающих моментов М_Х (рис.).

Таблица 5

4. По эпюре М_Х определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине): M_X^max = 44,66 кНм.

Размер сечения (по условию варианта задания - № швеллера) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:

W_X = M_X^max/[у] = 44,66Ч10³/160Ч10⁶ =0,0002791 м³ ? 279,1 см³,

где [у] = 160Ч10⁶ Па - предельное напряжение для стали Ст3.

По таблице сортаментов (ГОСТ 8240-89) выбираем швеллер № 27, у которого момент сопротивления изгибу W_X = 308 см³.