Контрольная работа: Растяжение-сжатие. Расчет стержня. Кручение. Расчет вала

1. Растяжение-сжатие. Расчет стержня

стержень напряжение равновесие вал

Условие задачи:

Стержень, жестко закрепленный одним концом, состоящий из трех участков длиной l₁…l₃, и площадью А₁…А₃, находится под действием собственного веса и силы F, приложенной на координате l_F (см. рис.). Материал стрежня - сталь Ст. 3.

Требуется:

Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д.

Исходные данные:

Таблица 1

Справочная информация:

Удельный вес стали Ст. 3: г = (77…79)Ч10³ Н/м³.

Для расчетов принимаем удельный вес равным г = 78Ч10³ Н/м³.

Модуль продольной упругости (модуль Юнга) для стали Ст.3: Е = 2Ч10¹¹ Н/м².

Указания:

Собственный вес стержня можно представить в виде распределенной нагрузки q₁ = гЧА₁. Ось z, направление силы F и нумерацию участков вести от опоры.

Решение:

1. В соответствии с исходными данными варианта вычерчиваем схему бруса (см. рис.).

2. Расчет ведем от свободного конца стержня, т. е. начиная с сечения 3-3 III-го силового участка.

Рассекаем стержень на силовом участке и отбрасываем часть стержня, содержащую опору (верхнюю часть).

Составляем уравнения равновесия отсеченной части стержня для нахождения продольной силы N, нормального напряжения у и удлинения стержня ?l на силовом участке III.

Поскольку сила F на участке III не действует, то продольная сила N₃ на этом участке представлена только весом стержня, который увеличивается по мере удаления от плоскости сечения 3-3. При этом зависимость величины продольной силы N₃ от координаты z₃ будет прямо пропорциональной, поскольку изменяется только координата, а площадь сечения А₃ и плотность стали г остается неизменной по всему участку. Уравнение для продольной силы на участке:

N₃ = q₃Чz₃ = гЧА₃Чz₃,

где q₃ - вес отсеченной части стержня, представленный в виде распределенной нагрузки (Н/м);

z₃ - координата рассматриваемого сечения стержня по оси z (м);

А₃ - площадь сечения силового участка III (м²);

г - удельный вес материала стержня (для стали Ст. 3 - г = 78Ч10³ Н/м³).

Тогда в сечении 3-3 (крайнее нижнее сечение бруса) продольная сила будет равна нулю (т. к. и координата и вес равны нулю), а в сечении 2-2 (в крайнем верхнем сечении участка III) продольная сила определится по формуле:

N₃ = q₃Чz₃ =l₃Ч гЧА₃ =1,0Ч78Ч10³Ч40Ч10^-4 =312 Н ? 0,31 кН.

С учетом того, что на третьем участке происходит растяжение бруса под собственным весом, продольную силу условно считаем положительной.

Нормальное напряжение в сечениях силовых участков определяем, как отношение продольной силы к площади поперечного сечения данного участка. Тогда для третьего участка можно записать:

у₃ = N₃/А₃.

Зависимость между координатой z и величиной напряжения по сечениям будет линейной, как и для продольной силы. Тогда в сечении 3-3 нормальное напряжение будет равно нулю (т. к. продольная сила равна нулю), а в сечении 2-2 (со стороны участка III) определится по формуле:

у₃ = N₃/А₃ = 312/40Ч10^-4 = 78000,0 Па или у₃ = 0,078 МПа.

На силовом участке III брус растягивается под собственным весом, т. е. имеет место его удлинение. Удлинение бруса на участке определяем по закону Гука, с учетом изменяющегося по координате z веса стержня:

?l₃ = ?[N₃/(EЧA₃)]dz,

где Е - модуль продольной упругости стали; Е = 2Ч10¹¹ Н/м² (справочная величина).

Удлинение изменяется по линейной зависимости от нижнего сечения (3-3) до верхнего сечения (2-2) силового участка, при этом в сечении 3-3 оно будет равно нулю, поскольку продольная сила N₃ в этом сечении равна нулю, а в сечении 2-2 удлинение будет равно:

?l₃ = ?[N₃/(EЧA₃)]dz = ?[(А₃ЧгЧz₃)/(ЕЧА₃)]dz = (гЧl₃²)/2E =

= (78Ч10³Ч1²)/(2Ч2Ч10¹¹) ? 0,000000195 м или ?l₃ ? 0,000195 мм.

3. Аналогично проводим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке II, учитывая, что к сечению 2-2 участка II (крайнему нижнему) приложена продольная сила N₃ (вес силового участка III бруса). Силы, действующие на участке, являются растягивающими, т. е. условно положительными.

Продольная сила на участке II будет равна:

В начале участка II (нижнее сечение на границе с сечением III):

N_{2 Z=0} = N₃ = 312 Н ? 0,31 кН.

В конце участка II (верхнее сечение на границе с участком I):

N_{2 Z=1,3} = N_{2 Z=0} + q₂Чz_{2 =1,3} = N_{2 Z=0} + (l₂Ч гЧА₂) = 312 + (1,3Ч78Ч10³Ч30Ч10^-4) = 616 Н ? 0,62 кН.

Нормальные напряжения в сечениях силового участка II:

В начале участка II (верхнее сечение на границе с сечением III):

у_{2 Z=0} = N_{2 Z=0} /А₂ = 343/ 30Ч10^-4 = 114333 Па ? 0,114 МПа.

В конце участка II (нижнее сечение на границе с участком I):

у_{2 Z=1,3} = N_{2 Z=1,3} /А₂ = 616 / 30Ч10^-4 = 205400 Па ? 0,205 МПа.

Удлинение стержня на силовом участке II:

?l₂ = (гЧl₂²)/2E + (N_{2 Z=1,3} Чl₂/EA₂) =

= (78Ч10³Ч1,3²)/(2Ч2Ч10¹¹) + (616Ч1,3) / (2Ч10¹¹Ч30Ч10^-4) ? 0,000001335м

или ?l_{2 Z=1,3} ? 0,00133 мм.

4. Производим расчет продольных сил, нормальных напряжений и удлинений стержня на силовом участке I , учитывая, что к сечению 1-1 участка (крайнему нижнему) приложена продольная сила N_{2 Z=1,3}, равная векторной сумме весов силовых участков II, III бруса и сосредоточенная сила F. Все эти силы по отношению к участку I являются растягивающими (т. е. условно положительными).

Продольная сила на участке I будет равна:

В начале участка I (сечение 1-1):

N_{1 Z=0} = N_{2 Z=1,3} + F = 70616 Н ? 70,62 кН.

В конце участка I (сечение 0-0):

N_{1 Z=1,0} = N_{1 Z=0}+ q₁Чz₁ = N_{1 Z=0} + (l₁Ч гЧА₁) =70616 + (1,1Ч78Ч10³Ч40Ч10^-4)= 70651 Н ? 70,65 кН.

Нормальные напряжения в сечениях силового участка I:

В начале участка I (сечение 1-1):

у_{1 Z=0} = N_{1 Z=0} /А₁ = 70616 / 40Ч10^-4 = 17 654 000 Па ? 17,65 МПа.

В конце участка I (сечение 0-0):

у_{1 Z=1,0} = N_{1 Z=1,0} /А₁ = 70651 / 40Ч10^-4 = 17 662 800 Па ? 17,66 МПа.

Удлинение бруса на силовом участке I:

?l₁ = (гЧl₁²)/2E - (N_{1 Z=1} Чl₁/EЧA₁) =

= (78Ч10³Ч1²)/(2Ч2Ч10¹¹) + (70651Ч1) / (2Ч10¹¹Ч40Ч10^-4) ?

? 0,0000885 м ? 0,0885 мм.

5. Определяем перемещения сечений стержня:

д_0-0 = 0 мм;

д_1-1 = ?l₁ = 0,0885 мм;

д_2-2 = ?l₁ + ?l₂ = 0,0885 + 0,00133 ? 0,0898 мм;

д_3-3 = ?l₁ + ?l₂ + ?l₃ = 0,0885 + 0,00133 + 0,000195 ? 0,0900 мм.

Очевидно, что силовой участок I растянут значительнее участков II и III, поскольку удлинение в нем имеет место, преимущественно, под действием сосредоточенной силы F.

6. Результаты расчетов сводим в таблицу 2, и строим эпюры продольных сил N, нормальных напряжений у и перемещений д (см. рис.).

Таблица 2. Значения продольной силы, нормального напряжения и удлинения стержня по сечениям силовых участков

2. Кручение. Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l₁…l₄ приложено четыре сосредоточенных момента М₁…М₄ (см. рис.).

Требуется:

построить эпюру крутящих моментов М_КР;

подобрать диаметр d вала из расчета на прочность;

построить эпюру максимальных касательных напряжений ф_max;

построить эпюру углов ц закручивания вала;

определить наибольший относительный угол И_max закручивания вала.

Исходные данные:

Таблица 3

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными варианта (рис.).

Знаки моментов в исходных данных означают: плюс - момент действует против часовой стрелки относительно оси Z, минус - по часовой стрелке (см. навстречу оси Z).

В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.

Участки нумеровать от опоры.

Допускаемое касательное напряжение [ф] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке начиная от свободного конца вала. Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

М_IV = М₁ = 2,7 (кНм);

М_III = М₁ + М₂ = 2,7 - 2,6 = 0,1 (кНм);

М_II = М₁ + М₂ + М₃ = 2,7 - 2,6 - 2,3 = - 2,2 (кНм);

М_I = М₁ + М₂ + М₃ + М₄ = -2,7 - 2,6 - 2,3 - 2,0 = -4,2 (кНм).

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака), т. е. для участка I:

W_Р ? М_КРmax/[ф].

Так как для круглого сечения полярный момент равен: W_Р = рD³/16, то можно записать:

D ? ³v(16М_КРmax/р[ф]) ? ³v[(16Ч4,2Ч10³) / (3,14Ч100Ч10⁶)] ? 0,05974 м

или D ? 59,74 мм.

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 60 мм (1-й ряд номинальных диаметров).

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

ц = М_КРЧl/GЧI_{P ,}

где G - модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8Ч10¹⁰ Па;

I_P - полярный момент инерции (для круглого сечения I_P = рD⁴/32 ? 0,1D⁴, м⁴.

Произведение GЧI_P = 8Ч10¹⁰Ч0,1Ч0,06⁴ ? 103 680 Нм² - жесткость сечения данного вала при кручении.

Рассчитываем углы закручивания на каждом участке:

ц_I = -4,2Ч10³Ч1,1/103 680 = -0,0446 рад;

ц_II = -2,2Ч10³Ч0,7/103 680 = -0,0162 рад;

ц_III = 0,1Ч10³Ч0,3/103 680 = 0,00029 рад;

ц_IV = 2,7Ч10³Ч0,4/103 680 = 0,0104 рад.

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

ц_0-0 = 0 рад;

ц_1-1 = ц_I = -0,0467 рад;

ц_2-2 = ц_I + ц_II = -0,0467 - 0,0162 = -0,0629 рад;

ц_3-3 = ц_I + ц_II + ц_III = -0,0467 - 0,0162 + 0,00029 = -0,0626 рад;

ц_4-4 = ц_I + ц_II + ц_III + ц_IV = -0,0467 - 0,0162 + 0,00029 + 0,0104 = -0,0522 рад.

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

ф_max = М_КР/W_P = 16М_КР/рD³ ? 5М_КР/D³.

ф_maxIV = 5Ч2,7Ч10³/0,06³ = 62 500 000 Па ? 62,50 МПа;

ф_maxIII = 5Ч0,1Ч10³/0,06³ = 2 313 814 Па ? 2,31 МПа;

ф_maxII = 5Ч-2,2Ч10³/0,06³ = -55 555 555,55 Па ? -55,56 МПа;

ф_maxI = 5Ч-4,2Ч10³/0,06³ = -97 222 222 Па ? -97,22 МПа.

6. Наибольший относительный угол закручивания И_max определим по формуле:

И_max = М_КРmax/GЧI_P = -4,2Ч10³/103 680 ? -0,0405 рад/м.

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов М_КР, касательных напряжений ф_max и углов закручивания ц (см. рис.).

Очевидно, что эпюра крутящих моментов будет идентична по форме (при соответствующем масштабе) эпюре касательных напряжений, поскольку вал имеет одинаковый диаметр по всей длине и изготовлен из однородного материала.