Материал: Распространение волн в нелинейных диспергирующих средах

 (31)

В условиях фазового синхронизма n2 = n1 и закон сохранения энергии (29) принимает вид , что позволяет легко проинтегрировать систему уравнений (31):

,

где Lнл определена соотношением (23). Нетрудно видеть, что А02(Lнл) = 0,76Е01.

Таким образом, при точном согласовании фазовых скоростей основной волны и второй гармоники можно, в принципе, получить почти полное преобразование энергии волны во вторую гармонику. Обычно такая синхронизация достигается в одноосном отрицательном кристалле, в котором существуют направления синхронизма, вдоль которых скорость обыкновенной волны основной гармоники равна скорости необыкновенной волны второй гармоники.

Параметрическая генерация и усиление волн

Рассмотрим в среде с квадратичной дисперсией трехволновое взаимодействие волн с частотами w1 < w2 < w3. В силу соотношений (3) и (13)

w3 = w2 + w1, kp1 = k3 - k2, kp2 = k3 - k1, kp3 = k2 + k1, соответственно

 (32)

Подставляя эти выражения в правые части укороченных уравнений (16) для случая нормального падения на плоскую границу изотропной среды без потерь, получим:

 (33)

Здесь обозначено: , , , Dk = k3 - k2 - k1,.

Закон сохранения энергии для трех волн в бездиссипативной среде имеет вид, аналогичный соотношению (29)

. (34)

Продифференцировав это равенство по z и подставив в него производные из уравнений (33), получим, что коэффициенты нелинейности должны быть равны g1 = g2 = g2 = g. С учетом этого умножим первое уравнение системы (33) на , а второе уравнение - на , а затем сложим полученные уравнения друг с другом и со своими комплексными сопряжениями:

.

Проделав аналогичные операции с первым и третьим уравнениями и учитывая граничные условия А0j(0) = E0j, j = 1, 2, 3, получим соотношения Менли - Роу:

. (35)

Из уравнения (35) видно, что если амплитуда волны на высшей частоте w3 уменьшается, то энергия переходит одновременно в обе низкочастотные волны, и наоборот. Рассмотрим случай, когда одна из волн гораздо мощнее двух других. В случае мощной низкочастотной волны из уравнений Менли - Роу (35) следует, что ее плотность энергии (квадрат амплитуды) меняется в пределах . Поскольку по предположению на входе среды E01 >> E02, E03, то амплитуда мощной волны при распространении меняется незначительно.

Аналогично для амплитуд "слабых" волн w2 и w3 получим

, .

Поскольку поле мощной волны w1 можно считать постоянным, а полями волн w2 и w3 можно пренебречь, то, подставляя в правую часть первого уравнения системы (33) значения А2 = А3 = 0, получаем А1(z) = const = Е01. Подставляя это значение во второе и третье уравнения системы (33), легко решаем ее:

|A02,3(z)| = |E02,3cos(z/Lб) + B2,3sin(z/Lб)|,

где константы В2 и В3 определены из граничных условий и введена длина биений

.

Таким образом, в поле мощной низкочастотной волны слабые волны на других частотах не усиливаются, а их амплитуды испытывают пространственные биения с характерным масштабом Lб, причем появление или исчезновение расстройки Dk не влияет на характер процесса, меняется только период биений.

Иное - в случае мощной высокочастотной волны w3. Из соотношений Менли - Роу (35) следует, что , то есть мощная высокочастотная волна может отдать всю свою энергию слабым низкочастотным волнам. Это эквивалентно распадению мощной высокочастотной волны в среде с квадратичной нелинейностью вследствие синхронного трехволнового взаимодействия на две низкочастотные волны - распадная неустойчивость. На начальном этапе взаимодействия ВЧ-поле можно считать заданным, то есть

A03(z) » E03 >> A01(z), A02(z). При этом третье уравнение системы (33) принимает вид dA3/dz = 0, то есть A3(z) = const = E03, а первые два уравнения образуют систему связанных линейных дифференциальных уравнений.

Если дополнительно учесть в левых частях системы уравнений (33) слабую диссипацию по типу уравнения (16), получим

Решение этих уравнений совместно с законом сохранения энергии (34) дает

|A01,2(z)| = |E01,2ch(Гz) + B1,2sh(Гz)|exp(-az),

где введен коэффициент параметрического усиления

, .

Нетрудно видеть, что экспоненциальное нарастание амплитуд низкочастотных волн происходит лишь при условии , то есть если мощность ВЧ-поля превышает порог параметрического усиления

Чем больше потери в среде a и рассогласование волновых векторов Dk, тем выше порог параметрического усиления. Если же условие (36) не выполнено, то имеют место пространственные биения амплитуд низкочастотных волн.

Литература

Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики. т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2007.

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009.

Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Бином, 2008.

Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

Савельев И.В. Курс физики, т.т. 1- М.: Наука, 2006-2008.

Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1- М.: Высшая школа, 2006-2008.

Трофимова Т.И. Краткий курс физики. М.: Высшая школа, 2007.

Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики, т.т. 1-2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.