ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А», Россия, Саратов
Расчет стержня кругового очертания с жесткими закреплениями по концам на радиальную нагрузку
Шагивалеев Камиль Фатыхович
Сурнин Дмитрий Аркадьевич
Круговые стержни находят широкое применение во многих областях современной техники: промышленном и гражданском строительстве, мостостроении, машиностроении, судостроении, самолетостроении, строительстве специальных сооружений и т. д. Поэтому совершенствование методов расчета таких стержней представляет для строительной механики практический интерес.
Круговой стержень рассчитывают независимо для нагрузок в плоскости стержня и из его плоскости. Поэтому расчет стержня следует начинать с разложения внешних нагрузок по трем направлениям: радиальном, тангенциальном и по бинормали. Затем следует перенести все нагрузки в данном сечении на ось стержня с добавлением соответствующих изгибающих и крутящих моментов.
Обозначения, положительные направления перемещений, усилий и моментов, допущения, дифференциальные зависимости приняты в соответствии с работой [1]. Основные дифференциальные зависимости расчета плоского кругового стержня имеют вид:
(1-3)
Отсюда видно, что после проектирования внешней нагрузки на плоскость стержня и перпендикулярно к ней уравнения распадаются на две независимые группы: левая группа уравнений описывает изгиб стержня в его плоскости, а правая - из его плоскости.
Рассмотрим изгиб кругового стержня, имеющего по концам жесткие закрепления и нагруженного в его плоскости на участке равномерно распределенной радиальной нагрузкой q (рис.1):
(4)
Рис. 1. Изгиб кругового стержня
Граничные условия при рассматриваемом способе опирания стержня имеют вид: при
(5)
Продифференцируем по первое уравнение системы (1) и из полученного результата вычтем второе уравнение системы (1), при будем иметь:
( (6)
Для решения дифференциального уравнения (6) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая , по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:
((7)
где - комплексный параметр;
- произвольные постоянные.
Изображение для рассматриваемой нагрузки (4) имеет вид [2]:
((8)
Переходя в уравнении (6) от оригиналов к изображениям (7),(8), получим операторное уравнение:
. ((9)
Из (9) находим:
((10)
Переходя в выражении (10) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:
((11)
где - единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0;
- единичная функция, которая при равна 1 и при равна 0.
Обращаем внимание на то, что единичные функции и приняты только для сокращения записи выражения.
Так, например, если записать выражение для без единичных функций, то будем иметь:
на участке (12)
на участке
на участке
Из первого уравнения системы (1) найдем:
( (13)
Учитывая (11), будем иметь:
(14)
Выразив в третьем уравнении системы (1) через перемещение , а вместо подставив выражение (14), будем иметь:
(15)
Для решения дифференциального уравнения (15) применим операционное исчисление, связанное с преобразованием Лапласа [2]. Полагая и учитывая граничные условия при (5), по теореме дифференцирования оригинала [2] получим:
(16)
где - произвольная постоянная.
Переходя в уравнении (15) от оригиналов к изображениям (16), получим операторное уравнение, из которого найдем :
(17)
Переходя в выражении (17) от изображений к оригиналам [2], получим искомое решение:
(18)
Имея , по дифференциальным зависимостям (1) можно записать выражения для перемещений, усилий и моментов.
Произвольные постоянные находим из граничных условий при (5). Ввиду громоздкости все операции не приводятся.
Окончательно решение уравнения (15) имеет вид:
(19)
Выражения для перемещения момента и усилий:
(20)
Выражения (19), (20) получены в общем виде. Они позволяют рассчитать круговой стержень в его плоскости при любом положении равномерно распределенной радиальной нагрузки q по длине стержня, при различных размерах участка нагружения и при различных значениях центрального угла .
Результаты работы могут найти применение в научных и проектных организациях.
Библиографический список
стержень круговой очертание
1. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. Т.1.М.: Машиностроение, 1968. - 831 с.
2. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. - М.: Наука, 1968. - 416 с.