Материал: Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

double d, x[n], r[n], Ax[n];

double A_1[n][n+1];// создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_1[i][j] = A[i][j];

}_1[i][n] = f[i];

}<< endl;(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A_1[k][k]);= k;= k;(int i = k; i < n; i++)

{(fabs(A_1[i][k]) > max)

{= fabs(A_1[i][k]);

line = i;// нахождение макс элемента и его позиции

}

}(line != k)// меняем строки местами

{(int j = k; j < n+1; j++)

{(A_1[k][j], A_1[line][j]);

}

}= A_1[k][k];(int j = k; j < n+1; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{_1[k][j] = (double) A_1[k][j] / d;

}(int i = 0; i < n; i++)

{(i != k)

{= A_1[i][k];(int j = k; j < n+1; j++)

{_1[i][j] -= d*A_1[k][j];

}

}

}

}<< endl;<<"Root"<<endl;(int i = 0; i < n; i++)

{[i] = A_1[i][n];(" %.4f", x[i], " ");<< endl;

}(A);<<endl;(int i=0; i<n; i++)

{s=0;(int j=0; j<n; j++)

{+=A[i][j]*x[j];

}[i]=s;[i] = Ax[i]-f[i];

}<<"Nevazka"<<endl;(int i=0; i<n; i++)

{("%1.18f\n", r[i]);

}=0;(int i=0; i<n; i++)

{(max< fabs(r[i]))

{=fabs(r[i]);

}

}("\n ||Ax-f||=%1.18f\n", max);

}Gauss_Line(double A[n][n], double f[n])

{P[n];(int i = 0; i < n; i++)[i] = i;max;

int line = 0, column= 0;// позиции максимального элемента

double d, x[n], r[n], Ax[n];

double A_1[n][n+1];// создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_1[i][j] = A[i][j];

}_1[i][n] = f[i];

}<< endl;(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A_1[k][k]);= k;= k;(int j = k; j < n; j++)

{(fabs(A_1[k][j]) > max)

{= fabs(A_1[k][j]);= j;

}

}(column!= k)// меняем столбцы местами

{(int i = 0; i < n; i++)

{(A_1[i][k], A_1[i][column]);

}(P[k], P[column]);

}= A_1[k][k];(int j = k; j < n+1; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{_1[k][j] = (double) A_1[k][j] / d;

}(int i = 0; i < n; i++)

{(i != k)

{= A_1[i][k];(int j = k; j < n+1; j++)

{_1[i][j] -= d*A_1[k][j];

}

}

}

}<< endl;(int i = 0; i < n; i++)

{[P[i]] = A_1[i][n];

}<<"Root"<<endl;(int i = 0; i < n; i++)

{(" %.4f", x[i], " ");<< endl;

}(A);<<endl;(int i=0; i<n; i++)

{s=0;(int j=0; j<n; j++)

{+=A[i][j]*x[j];

}[i]=s;[i] = Ax[i]-f[i];

}<<"Nevazka"<<endl;(int i=0; i<n; i++)

{("%1.18f\n", r[i]);

}=0;(int i=0; i<n; i++)

{(max< fabs(r[i]))

{=fabs(r[i]);

}

}("\n ||Ax-f||=%1.18f\n", max);

}Determinant(double A[n][n])

{max, p = 1;s = 1;

double d;(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A[k][k]);= k;= k;(int i = k; i < n; i++)

{(int j = k; j < n; j++)

{(fabs(A[i][j]) > max)

{= fabs(A[i][j]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции= j;

}

}

}(line != k)// меняем строки местами

{(int j = k; j < n; j++)

{(A[k][j], A[line][j]);

}*= -1;

}(column != k)// меняем столбцы местами

{(int i = k; i < n; i++)

{(A[i][k], A[i][column]);

}*= -1;

}= A[k][k];(int j = k; j < n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{[k][j] = (double) A[k][j] / d;

}= p*d;(int i = k+1; i < n; i++)

{= A[i][k];(int j = k; j < n; j++)

{[i][j] -= d*A[k][j];

}

}

}<<s*p;<< endl;

}Multipluying(double A[n][n], double B[n][n])

{C[n][n];s = 0;(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{= 0;(int k = 0; k < n; k++)

{= s + A[i][k]*B[k][j];

}[i][j] = s;

}

}(C);

}Inverted_Gauss_Matr(double A[n][n])

{d;P[n];line,column;max;(int l = 0; l < n; l++)

P[l] = l;A_2[n][2*n];// создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_2[i][j] = A[i][j];

}

}(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = n; j < 2*n; j++)

{((i+n) == j)

{_2[i][j] = 1;

}

{_2[i][j] = 0;

}

}

}(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = 0; j < 2*n; j++)

{(" %.4f", A_2[i][j], " " );

}<< endl;

}(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A_2[k][k]);= k;= k;(int i = k; i < n; i++)

{(int j = k; j < n; j++)

{(fabs(A_2[i][j]) > max)

{= fabs(A_2[i][j]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции= j;

}

}

}(line != k)// меняем строки местами

{(int j = k; j < 2*n; j++)

{(A_2[k][j], A_2[line][j]);

}

}(column != k)// меняем столбцы местами

{(int i = 0; i < n; i++)

{(A_2[i][k], A_2[i][column]);

}(P[k], P[column]);//менял тут!!!11

}= A_2[k][k];(int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{_2[k][j] = (double) A_2[k][j] / d;

}(int i = 0; i < n; i++)

{(i != k)

{= A_2[i][k];(int j = k; j < 2*n; j++)

{_2[i][j] -= d*A_2[k][j];

}

}

}

}A_Inverted[n][n];<< endl << endl;<< "Inverted matrix is:" << endl;(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_Inverted[P[i]][j] = A_2[i][j+n];

}

}<< endl;(A_Inverted);<< endl << "Check" << endl << endl;(A, A_Inverted);

}Inverted_Gauss_Line(double A[n][n])

{max;line = 0, column = 0;// позиции максимального элемента

double d;P[n];(int l = 0; l < n; l++)

P[l] = l;A_2[n][2*n];// создаём расширенную матрицу

for (int i = 0; i < n; i ++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_2[i][j] = A[i][j];

}

}(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = n; j < 2*n; j++)

{((i+n) == j)

{_2[i][j] = 1;

}

{_2[i][j] = 0;

}

}

}(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A_2[k][k]);= k;= k;(int j = k; j < n; j++)

{(fabs(A_2[k][j]) > max)

{= fabs(A_2[k][j]);= j;

}

}(column != k)// меняем столбцы местами

{(int i = 0; i < n; i++)

{(A_2[i][k], A_2[i][column]);

}(P[k], P[column]);

}=A_2[k][k];(int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{_2[k][j] = (double) A_2[k][j] / d;

}(int i = 0; i < n; i++)

{(i != k)

{= A_2[i][k];(int j = k; j < 2*n; j++)

{_2[i][j] -= d*A_2[k][j];

}

}

}

}<< endl;A_Inverted[n][n];<< endl;<< "Inverted matrix is:" << endl;(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_Inverted[P[i]][j] = A_2[i][j+n];

}

}<< endl;(A_Inverted);<< endl << "Check" << endl << endl;(A, A_Inverted);

}Inverted_Gauss_Column(double A[n][n])

{max;line = 0, column = 0;// позиции максимального элемента

double d;A_2[n][2*n];// создаём расширенную матрицуP[n];(int l = 0; l < n; l++)[l] = l;(int i = 0; i < n; i ++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_2[i][j] = A[i][j];

}

}(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = n; j < 2*n; j++)

{((i+n) == j)

{_2[i][j] = 1;

}

{_2[i][j] = 0;

}

}

}(int k = 0; k < n; k++)

{= fabs(A_2[k][k]);= k;= k;(int i = k; i < n; i++)

{(fabs(A_2[i][k]) > max)

{= fabs(A_2[i][k]);

line = i;// нахождение макс элемента и фикс позиции

}

}(line != k)// меняем строки местами

{(int j = k; j < 2*n; j++)

{(A_2[k][j], A_2[line][j]);

}

}= A_2[k][k];(int j = k; j < 2*n; j++)// деление к-й строки на макс элемент

{_2[k][j] = (double) A_2[k][j] / d;

}(int i = 0; i < n; i++)

{(i != k)

{= A_2[i][k];(int j = k; j < 2*n; j++)

{_2[i][j] -= d*A_2[k][j];

}

}

}

}A_Inverted[n][n];<< endl;<< "Inverted matrix is:" << endl;(int i = 0; i < n; i++)

{(int j = 0; j < n; j++)

{_Inverted[i][j] = A_2[i][j+n];

}

}<< endl;(A_Inverted);<< endl << "Check" << endl << endl;(A, A_Inverted);

}main()

{A[n][n];(A);<< "Our matrix A is:" << endl;

Print(A);f[n] = {0.17,1,0.21,2.71}; // это вектор свободных членов

cout << endl << "Our vector f is:" << endl;(int i = 0; i < n; i++)

{(" %.4f", f[i], " ");

}<<endl;<< "Gauss method - max element in MATRIX";_Matr(A, f);<< "Gauss method - max element in COLUMN";_column(A, f);<< "Gauss method - max element in LINE";_Line(A, f);<< "Determinant:" << endl;(A);(A);<< "matrix A_2[n][2*n]" << endl;_Gauss_Matr(A);<< "Matrix by lines" << endl;_Gauss_Line(A);<< "Matrix by the column" << endl;_Gauss_Column(A);("PAUSE");}

Распечатка результатовmatrix A is:

0.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400

.8100 0.1200 -0.9100 0.1700

.1700 -0.1800 1.0000 0.2800

.1300 0.1700 -0.9900 0.3500vector f is:

.1700 1.0000 0.2100 2.7100method - max element in MATRIXis a matrix A_1[n][n+1]

.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400 0.1700

.8100 0.1200 -0.9100 0.1700 1.0000

.1700 -0.1800 1.0000 0.2800 0.2100

.1300 0.1700 -0.9900 0.3500 2.7100

.0073

.3203

.8955

.9967

.00000000000000008

.00000000000000089

.00000000000000086

.00000000000000178

||Ax-f||=0.000000000000001776method - max element in COLUMN

.0073

.3203

.8955

.9967

.000000000000003469

.000000000000000888

.000000000000000916

.000000000000000000

||Ax-f||=0.000000000000003469method - max element in LINE

.0073

.3203

.8955

.9967

.000000000000001249

.000000000000002442

.000000000000000472

.000000000000000888

||Ax-f||=0.000000000000002442:

.0168305A_2[n][2*n]

.1100 -0.1700 0.7200 -0.3400 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

.8100 0.1200 -0.9100 0.1700 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

.1700 -0.1800 1.0000 0.2800 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

.1300 0.1700 -0.9900 0.3500 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000matrix is:

.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

.0000 1.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

.0000 0.0000 0.0000 1.0000by linesmatrix is:

.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

.0000 -0.0000 0.0000 0.0000

.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

.0000 0.0000 -0.0000 1.0000by the columnmatrix is:

-1.4253 1.7694 0.2315 -2.4292

.4211 9.1371 -1.6455 -30.7307

.9593 1.5461 0.2594 -5.7760

.3063 -0.7221 1.4468 2.3479

.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000

.0000 1.0000 0.0000 0.0000

.0000 0.0000 1.0000 -0.0000

.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

линейный алгебраический уравнение гаусс

Вывод

В нашем случае более точным оказался метод Гаусса с выбором ведущего элемента в матрице, его невязка составила

||Ax-f||=0.000000000000001776.

Потом идет метод Гаусса с выбором ведущего элемента в строке

||Ax-f||=0.000000000000002442.

А уже после идут метод факторизации с невязкой

||Ax-f||=0.000000000000002470

и метод Гаусса с выбором ведущего элемента в столбце с невязкой

||Ax-f||=0.000000000000003469

соответственно. Так же было найдено решение системы

Root

.0073

.3203

.8955

.9967

и определитель

Determinant:

.0168305

значение которых совпало для всех методов.