Материал: Простейшие дифференциальные уравнения

Рис. 2

В силу нерастяжимости нити мы заведомо знаем, что маятник, точнее соответствующая ему материальная точка с массой m, движется вдоль дуги окружности радиуса l (см. рис.2). Отсюда следует, что движение маятника является одномерным и мы можем в качестве координаты, описывающей это движение, выбрать длину дуги окружности s. Отсчет этой криволинейной координаты начинается в точке равновесия маятника A и ведется в направлении положительных углов отклонения подвеса маятника относительно вертикального положения (т.е. против часовой стрелки).

Обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника в момент времени t, который отвечает отклонению его подвеса на угол  (см. рис 2.), получим с помощью второго закона Ньютона. На материальную точку массой m действуют две силы - сила притяжения к Земле mg, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная по радиусу окружности, соответствующему выбранному нами отклонению на угол  (t) от вертикального положения. Чтобы применить второй закон Ньютона для описания движения материальной точки m по дуге окружности s, необходимо найти проекцию равнодействующей силы на направление касательной к окружности в той ее точке, где в момент времени t находится маятник. Для этого достаточно найти сумму проекций на касательную в точке B вышеуказанных двух сил. Поскольку сила натяжения нити перпендикулярна касательной, достаточно учесть только проекцию F силы тяжести mg. Из рис.2 имеем F=-mg sin() (угол отклонения маятника  равен углу обозначенному той же буквой в силовом треугольнике, как углы со взаимно параллельными сторонами). С учетом вышесказанного, из второго закона Ньютона получим

,

здесь  есть вторая производная от криволинейного пути перемещения маятника s(t), а угол  измеряется в радианах. Принципиально важным является правильность учета знаков проекций силы mg: из рисунка видно, что при отклонении маятника от положения равновесия вправо, эта проекция направлена влево и наоборот (таким образом, она является возвращающей силой).

В уравнение (17) входят две переменные, зависящие от времени:  (t) и s(t). Очевидно, что они не являются независимыми друг от друга. Действительно, между ними имеется очевидная геометрическая связь, следующая из определения радианной меры угла (=s/l):

s(t)=.(18)

Подстановка (18) в (17) и сокращение на массу m приводит нас к уравнении вида.

,

которое мы будем в дальнейшем записывать в форме

,

где . Оно называется уравнением математического маятника и является нелинейным дифференциальным уравнением, поскольку, входящая в него неизвестная функция  (t) стоит под знаком синуса. Именно этим уравнение (20) отличается от дифференциального уравнения гармонического осциллятора (10).

Угадать решение уравнения математического маятника, в отличие от того, как это было сделано для случая гармонического осциллятора, вряд ли возможно. Из математической литературы известно, что это уравнение имеет аналитическое решение, которое выражается в терминах эллиптических функций Якоби. Поскольку эти функции элементарными не являются, то обычно студенты второго курса физического факультета с ними незнакомы, поэтому приводить это решение мы не будем и займемся в дальнейшем численным решением рассматриваемого уравнения.

В школьном курсе физики фигурировала следующая классическая формула для периода колебаний (Т) математического маятника

Эта формула является лишь некоторым приближением, которое справедливо только для колебаний с малыми углами отклонения маятника от положения равновесия, т.е. в случае

.

Покажем, как можно получить формулу (21), исходя из дифференциального уравнения (20).

В силу ограничения малыми углами, , функцию  можно разложить в ряд Тейлора около значения t=0 (фактически, это ряд Маклорена):

Заметим попутно, что именно с помощью этого разложения (в правой его части фигурируют только арифметические операции над углом , заданным радианах) обычно вычисляются значения тригонометрической функции sin(), когда мы пользуемся калькулятором или пишем компьютерную программу на некотором алгоритмическом языке.

При условии (22), что отвечает отклонениям на углы в несколько градусов (напомним, что один радиан равен приблизительно градусам), можно ограничиться лишь первым членом в разложении (23), т.е. считать что .

Делая замену (24) в уравнении (20), мы получим приближенное уравнение, которое есть ни что иное, как уравнение гармонического осциллятора относительно функции  (t) (сравни с уравнением (10)), общее аналитическое решение которого мы знаем:

С другой стороны, при любых значениях постоянных A,B решение (25) является периодической функцией с периодом . Тогда, с учётом соотношения , мы приходим к вышеупомянутой формуле (21) для периода колебаний математического маятника.

Теперь становится очевидным, что формула (21) не является точной, она справедлива лишь для достаточно малых угловых амплитуд колебаний математического маятника.

Достаточно ясно, что если бы в разложении (23) для sin() мы учли не только первый, но и второй член, т.е. если бы положили

,

и подставили бы это выражение в уравнение математического маятника (20), то получили бы в результате его решения более хорошее приближение для периода колебаний (справедливое для больших амплитуд колебаний). Однако, подстановка (26) в (20) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению (уравнению Дуффинга), решение которого также выражается через обычно неизвестные студентам второго курса эллиптические функции Якоби.

Точное выражение для периода колебаний математического маятника можно найти в курсах теоретической механики. Он выражается полный эллиптический интеграл первого рода [4]. И из него ясно, что период колебаний математического маятника явно зависит от амплитуды колебаний (это характерное свойство нелинейных колебаний подробно исследуется с помощью численных методов в модуле 4 данного пособия).

4. Движение планет вокруг Солнца

Согласно первому закону Кеплера, орбита каждой планеты солнечной системы представляет собой некоторый эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Во второй части пособия мы займемся подробным исследованием этой и других закономерностей движения планет с помощью постановки соответствующих вычислительных экспериментов. Сейчас же нашей целью будет вывод уравнений движения планеты массой m в поле притяжения Солнца массой M. В силу того, что M>>m, будем считать Солнце неподвижным и поместим начало координат в точку его нахождения.

Рис. 3

Мы будем рассматривать плоское движение, в связи с чем, достаточно ввести две декартовы координатные оси (см. рис. 3). Тело массой m (планета) имеет координаты x(t) и y(t), которые изменяются в процессе его движения вокруг Солнца. Нашей целью является получение дифференциальных уравнений, определяющих эту временную эволюцию координат планеты.

Пусть в некоторый момент времени t планета находится в точка А и имеет координаты x(t) и y(t). На нее действует только одна сила F - сила притяжения со стороны Солнца, равная по модулю

,

где  - расстояние от планеты до Солнца. Эта сила направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце. Обозначая через  и  ее проекции на координатные оси и используя второй закон Ньютона F=ma, мы можем написать два скалярных уравнения движения планеты вдоль координатных осей .

 (28)

(обратим внимание на то, что сила F направлена к центру и поэтому ее проекции имеют направления противоположные соответствующим координатным осям).

Из рис. 3 видно, что угол  в силовом треугольнике равен углу  в треугольнике OAB, гипотенуза которого является расстоянием до Солнца, а катеты - декартовыми координатами планеты x(t) и y(t). Это дает возможность написать входящие в уравнения (28) тригонометрические функции в виде

уравнение маятник закон ньютон

.(29)

 (30)

После сокращения на массу m и выражения расстояния до Солнца R через координаты планеты, окончательно приходим к следующей системе дифференциальных уравнений

 (31)

где . Это система двух связанных ОДУ относительно двух функций времени x(t) и y(t). Очевидно, что эти уравнения являются нелинейным в силу наличия в знаменателе функции .

Аналитическое решение системы (31) было найдено в свое время Исааком Ньютоном и результаты его исследования можно сформулировать следующим образом. Траектория движения тела в поле неподвижного гравитационного центра представляет собой одно из пяти конических сечений - окружность, эллипс, параболу, гиперболу или прямую. Более того, из системы ОДУ (31) получается не только первый закон Кеплера, но и два других его закона, которые мы обсудим во второй части пособия.

Подведём итог. В разделе мы ознакомились с понятием дифференциальных уравнений. При этом мы подчеркиваем, что применение второго закона Ньютона автоматически приводит к некоторым дифференциальным уравнениям или их системам. Мы также ознакомились с различиями между линейными и нелинейными ОДУ и с тем фактом, что очень редко удается найти аналитическое решение для нелинейных ОДУ, в силу чего особую роль при их исследовании играют численные методы, к рассмотрению которых мы переходим.

Литература

1. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 2002.

. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 2004.

. Валуев А.А., Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. - В сб.: Математическое моделирование. М.: Наука, 2009, с. 5-40.