Диссертация: Программа моделирования воздействия среды на движущееся твердое тело

Где:

- -компонента вектора скорости ;

- -компонента вектора скорости ;

- -компонента вектора внешних сил ;

- -компонента вектора внешних сил ;

- число Рейнольдса, безразмерная величина.

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Несмотря на широкую область применения уравнений Навье-Стокса, до сих пор не существует аналитического решения этих уравнений в общем случае[9]. Более того, на данный момент не доказано существование и гладкость подобного решения в трех измерениях. Математический институт Клэя назвал эту проблему одной из главных проблем тысячелетия. За решение задачи предложен приз в размере миллиона долларов[10]. Проблема актуальна до сих пор и активно решается математиками со всего мира.

На данный момент аналитические решение существуют только для нескольких частных случаев. В качестве примера чаще всего рассматриваются следующие случаи: параллельное течение воды через прямой канал и течение Куэтта.

При параллельном течении поток жидкости ограничен двумя параллельными стенками канала. Сила вязкого трения между стенкой канала и жидкостью уменьшает скорость движения потока около стенок. В результате образуется такая картина распределения скоростей (Рис. 2):

Рис. 2. Распределение скоростей потока при параллельном течении через прямой канал[11]

Течение Куэтта названо в честь Мориса Куэтта - французского ученого, известного своими исследованиями в области текучести жидкостей. Такой тип течений создается потоком жидкости, расположенным между двумя параллельными стенками, причем одна из стен движется с постоянной скоростью , причем вектор скорости направлен параллельно другой стенке. В таком случае течение потока происходит под воздействием сил вязкого трения между жидкостью и движущейся стенкой. В результате получается следующая картина распределения скоростей (Рис. 3).

Рис. 3. Распределение скоростей потока при течении Куэтта[11]

Аналитические решения уравнений Навье-Стокса для этих частных случаев приводятся в книге «LaminarFlowAnalysis»[11].

С конца 50-х годов XXвека, с развитием компьютерных технологий, стало возможно получение аппроксимаций решения с использованием численных методов[12]. На данный момент существует несколько численных методов, однако только два из них используются достаточно часто и имеют в основе Эйлеров подход к моделированию потока: метод конечных разностей и метод конечных элементов. Ниже будет рассмотрен каждый из методов, их достоинства и недостатки.

Метод конечных разностей

Метод конечных разностей заключается в создании разностной сетки. Пространство, представляющее собой прямоугольный параллелепипед, делится на небольшие равные части (прямоугольные параллелепипеды). Затем исходное уравнение преобразовывается в уравнение для каждого элемента сетки [6]. Для решения преобразованных уравнений требуется знать скорость потока на каждой из стенок сетки. Для этого разрабатываются различные типы граничных условий.

Достоинствами метода конечных разностей являются хорошая способность к распараллеливанию вычислений и быстрая работа на простых примерах. Также метод конечных разностей является более простым в реализации.

Существенным недостатком метода конечных разностей являются невозможность проводить симуляцию в произвольной области. Таком образом, высок процент избыточных вычислений (вычислений скоростей потока воздуха вне пространства эксперимента)

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов заключается в разбиении пространства эксперимента на конечное количество подобластей (элементов). В каждом элементе аппроксимирующая функция выбирается индивидуально. Решение дифференциального уравнения ищется на границах элементов [6].

Существенным достоинством метода конечных элементов является возможность локально изменять точность вычислений. В тех областях пространства, где требуется высокая точность, конечные элементы можно сделать меньше. Пример такого разбиения показан на Рис. 4.

Такой подход позволяет сильно экономить процессорное время. Однако сам алгоритм разделения пространства эксперимента на конечные элементы весьма сложен.

В качестве алгоритма дискретизации уравнений Навье-Стокса был выбран метод конечных разностей[6] из-за лучших перспектив по распараллеливанию и более простой реализации самого алгоритма. В следующей главе описан алгоритм для двумерного случая, а затем переход от двумерного случая к трехмерному.

Рис. 4. Пример разделения пространства эксперимента на конечные элементы [13]

В качестве демонстрации возможностей получения решения уравнений Навье-Стокса методом конечных разностей была разработан следующий эксперимент:

Внутри прямоугольного параллелепипеда со сторонами , находящегося в декартовом пространстве,называемом пространством эксперимента, размещено твердое тело произвольной формы. Все грани прямоугольного параллелепипеда параллельны осям координат. Твердое тело находится в водной или газообразной среде с заданной плотностью и числом Рейнольдса для данной среды и не должно выходить за пределы пространства эксперимента. К одной из граней прямоугольного параллелепипеда присоединена труба круглого сечения, в которой с постоянной скоростью движется поток жидкости или газа. Эксперимент проводится со времени начала эксперимента до времени окончания эксперимента .

Для получения результатов эксперимента в трехмерном случае необходимо получить картину распределения давлений и скоростей потока в каждой точке пространства экспериментадля любого момента времени, в который проводился эксперимент.

В то же время для получения результатов эксперимента в двумерном случае требуется получить картину распределения давлений и скоростей потока в каждой точки произвольно выбранного сечения пространства эксперимента, параллельного осям координат для любого момента времени, в который проводился эксперимент.

Разностная сеть

Пусть задано прямоугольное пространство,ориентированное параллельно осям координат и :

Создадим на этом пространстве сеть с ячейками одинакового размера по оси и ячейками по оси . В результатеразмер каждой ячейки выражается следующим образом:

Ячейка - такая ячейка, центр которой располагается вточек пространства с координатами . Согласно описанию эксперимента, внутри пространства эксперимента присутствует твердое тело произвольной формы. Отсюда следует существование двух типов ячеек: ячейка жидкости и ячейка - препятствие. Для задания начальных условий эксперимента к ячейке добавляют 2 ряда и 2 столбца. Ячейки при и при также являются ячейками-препятствиями. Результирующий вид такого пространства, разделенного на ячейки представлен наРис. 5

Рис. 5. Ячейки жидкости (белые), ячейки препятствия (светло-серые) и ячейки на границе прямоугольного пространства (темно-серые)

Каждая ячейкахарактеризует некий объем жидкости и определяется тремя параметрами: давлением , -компонентой вектора скорости и -компонентой вектора скорости .

Дискретизация уравнений Навье-Стокса происходит на разностной сетке (Staggeredgrid).Сетка обязана своим названием тому факту, что параметры, определяющие ячейку не привязаны к одной точке пространства. Давление ячейки определено по центру ячейки в координатах,-компонента вектора скорости ячейки определена в координатах , а -компонента вектора скорости ячейки определена в координатах. Визуальное представление подобной разностной сети показано на Рис. 6.

Рис. 6. Пример разностной сетки

Уравнение неразрывности (1.13)дискретизируетсяв центре каждой клетки . Частные производные выражаются следующим образом:

Cдругой стороны, уравнение движения для (1.11)дискретизируются в центре вертикальных сторон ячейки, а уравнение движения для (1.12)дискретизируется в центре горизонтальных сторон ячейки. Вторые производные , называемые диффузионными членами уравненияи частные производные давления () получаются относительно просто и выражаются следующими формулами:

При дискретизации конвекционных членов уравнения возникают некоторые трудности. Например, для дискретизации члена в центре правой стороны ячейки (черная точка на Рис. 7), нужны данные произведения в точках, отмеченных знаком на Рис. 7. В данной реализациидля получения данного значения используется среднее арифметическое значений скоростей и из соседних ячеек.

Рис. 7.Дискретизация конвекционных членов

Таким образом, конвекционные члены выражаются следующими формулами:

Начальные и граничные условия

Для дискретизации уравнений Навье-Стокса с использованием разностной сетки, определенной в предыдущем разделе, требуется указать начальные условия для горизонтальной скорости при и вертикальной скорости при . Таким образом, нужно определить следующие начальные значения(2.14):

Существует множество типов граничных условий на границе ячейки жидкости и ячейки-препятствия, но для разрабатываемого приложения требуется рассмотреть толькотри типа: свободное скольжение (free-slip), прилипание (no-slip) и

Свободное скольжение

Случай применим к газам. Предполагается, что между газом и препятствием не существует трения, поэтому газ свободно перемещается около твердого тела, границ пространства эксперимента и рамки источника потока. Таким образом, при условии свободного скольжения получаются следующие значения скоростей:

Прилипание

Это условие применимо тогда, когда жидкость прилипает к препятствию. Таким образом, скорость жидкости в данной точке равна скорости движения препятствия. В нашем случае препятствиями является твердое тело, границы пространства эксперимента и рамка источника потока. Все эти тела являются неподвижными, и их скорость равна нулю. Таким образом, при условии прилипания получаются следующие значения скоростей:

Свободный поток

Это условие применимо на границе пространства эксперимента только когда эта граница виртуальна и поток свободно течет через границу. Таким образом, скорость жидкости на границе с этим препятствием равна скорости движения «внутри» препятствия Таким образом, при условии прилипания получаются следующие значения скоростей:

Дискретизация по времени

Для дискретизации по времени используется метод Эйлера.

Для этого разделим временной интервал эксперимента на равные интервалы . В момент времени считается, что значения всех неизвестных для временного интервала уже известны.

Результаты для временного интервала вычисляются следующим образом:

Дискретизация по ячейкам разностной сетки

Считаем, что на начало эксперимента заданы начальная скорости и давление для всех ячеек разностной сетки. На каждой итерации время увеличивается на пока не достигнет времени окончания эксперимента .

Значение может задаваться экспериментатором, но для уменьшения погрешности измерений рекомендуется вычислять значение по формуле:

где:

- максимальная скорость движения среды по оси ;

- максимальная скорость движения среды по оси ;

Проведем дискретизацию уравнения движенияпо времени:

Здесь и далее индекс к скобках сверху указывает временной интервал, для которого верна данная переменная, например - скорость движения среды во оси в интервал времени

введем следующие обозначения:

тогда уравнение(2.20)можно записать в виде

Для завершения дискретизации уравнений движения правые части уравнений (2.22) также должны быть дискредитированы по времени.Итоговый вид уравнений представлен ниже:

После подстановки в уравнение неразрывности интервала времени получаетсяуравнение Пуассона для интервала времени :