Материал: Прогнозирование в регрессионных моделях

ŷ =x'_n+1 β (2.1)

Нетрудно проверить, что поскольку Е  = β, то Е ŷ = Еу_n+1, т.е. оценка ŷ является несмещенной. Оказывается, в классе линейных (по у) несмещенных оценок она обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой.[3]

Нетрудно проверить, что среднеквадратичная ошибка прогноза есть

Е(ŷ -у_n+1)² = σ²(1+ x'_n+1 (Х'X)^-lx_n+1). (2.2)

Заменим σ² на ее оценку s² и обозначим

Получаем, что если ошибки (ε_,ε_n+1) имеют совместное нормальное распределение, то случайная величина (ŷ -y_n+1)/δ имеет распределение Стьюдента с n- к степенями свободы. Поэтому доверительным интервалом для y_n+1 с уровнем доверия α будет интервал (ŷ - δ t_α, ŷ - δ t_α) где t_α - двусторонняя α -квантиль распределения Стьюдента с n - к степенями свободы.

Можно показать, что в случае парной регрессии, т. е. когда система у=Хβ+ε имеет вид

y_t = β₁ +β₂x_t + ε_t t= 1,. . .,n,

формула (2.2) выглядит так:

  (2.3)

где x=1/n ∑x_t . Из (2.3) следует, что среднеквадратичная ошибка

прогноза минимальна при x_n+1=  , и чем дальше x_n+1 от  , тем шире соответствующий доверительный интервал (см. рис. 2).

Рис. 2 доверительный интервал

Условное прогнозирование

В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что независимая переменная x_n+1 известна точно. Однако на практике встречаются ситуации, когда в x_n+1 содержатся ошибки. Так, при прогнозировании временных рядов часто приходится прогнозировать значения независимых переменных, что неизбежно приводит к отклонениям от истинных значений. Поэтому рассмотрим задачу условного прогнозирования. Пусть выполнены соотношения у=Хβ+ε и (2.0), но вектор x_n+1 наблюдается с ошибкой

z = x_n+1+ u, (2.4)

где u - k х 1 случайный вектор, не зависящий от (ε_,ε_n+1).

Прогноз (2.1) заменяется теперь на

ŷ = z' .   (2.5)

Пусть е = ŷ- y_n+1 - ошибка прогнозирования. Тогда

Ее = Е(z' ) - x'_n+1 β = Е[(x_n+1 + u)'] - x'_n+1 β

= Е(x'_n+1 ) + Е(u' )- x'_n+1 β = 0,