Статья: Проектирование оптимальных несущих конструкций из нелинейно-упругого материала

Проектирование оптимальных несущих конструкций из нелинейно-упругого материала

1Киселев В.Е.

ТОГУ, г. Хабаровск, Россия

Абстракт

Рассматривается задача оптимального распределения материала в плоских нелинейно-упругих стержневых системах при действии нескольких несовместных нагрузок. Отыскивается система минимального объема, удовлетворяющая требованиям прочности, жесткости и конструктивным ограничениям.

Ключевые слова: оптимальный, негуковский, минимальный объем, прочный, жесткий, декомпозиция.

Kiselev V.E.

PNU, Khabarovsk, Russia

DESIGN OPTIMUM LOAD-BEARING STRUCTURES MADE OF NONLINEAR ELASTIC MATERIAL

The problem of optimal material distribution in planar nonlinearly elastic rod systems under the action of several incompatible loads is considered. Given: the scheme of the rod system, made of non-Hooku material, and several incompatible loads acting on it. The cross sections of the elements vary stepwise. Within each section, the cross section is constant and is characterized by a single parameter. A minimal volume system is found that satisfies the requirements of strength, rigidity and design constraints.

Keywords: optimal, non-Hooku material, minimum volume, strong, rigid, decomposition.

1. Постановка задачи. Заданы: схема стержневой системы, выполненной из негуковского материала, и несколько действующих на нее несовместных нагрузок. Отыскивается такое распределения материала по элементам, при котором выполняются требования прочности и жесткости, а расход материала минимален.

Нелинейная зависимость между напряжением и деформацией, полученная опытным путем, аппроксимируется степенным законом Бюльфингера

s--=--Be1/ n (1)

Здесь B и n - некоторые постоянные. Достоинства и недостатки степенного закона и методы определения постоянных B и n изложены в работе [1, с.49 -52].

Очертание осей системы задано, поперечные сечения элементов меняются ступенчато. В пределах каждого участка поперечное сечение постоянно и характеризуется параметром s (i 1,...,m) i =--, где m - число участков. Отыскивается система минимального объема, удовлетворяющая требованиям прочности, жесткости и конструктивным ограничениям.

Объем стержневой системы определяется выражением

где i l - длина i - того участка; D и C - постоянные, зависящие от типа системы, при минимизации могут быть опущены.

Перемещение сечения j (j =1,...,q) при действии нагрузки r (r =1,..., p)

не должно превышать заданной величины [ ] j

Здесь ijr a - значение интеграла Мора, полученное при--=1 i s .

Условие прочности запишем в следующем виде:

[ ], i

где [у ] и sir - допускаемая относительная деформация и наибольшая деформация в пределах i - того участка; bir - величина, характеризующая усилие на i - том участке при действии нагрузки r .

По конструктивным соображениям параметр st должен находиться в заданных пределах

К описанию (1) - (5) приводят задачи оптимального проектирования шарнирно-стержневых систем, трехслойных изгибаемых конструкций, балок и рам с прямоугольным поперечным сечением заданной высоты и некоторые другие.

2. Статически определимые системы. В статически определимых системах внутренние усилия не зависят от распределения материала по элементам конструкции. При этом легко вычисляются коэффициенты aijr и bir. Так как некоторые из коэффициентов ограничений по жесткости могут быть отрицательными, то задача минимизации функции (2) при ограничениях (3), (4) и (5) является задачей невыпуклого программирования. Введение новых переменных у = s-", приводит к следующей задаче выпуклого программирования

Теперь линейные ограничения образуют выпуклый многогранник, а целевая функция выпукла, так как ее гессиан представляет собой диагональную матрицу с положительными элементами. Таким образом, задача (6) является задачей выпуклого программирования и, следовательно, одно экстремальна.

3. Статически определимые системы. В статически неопределимых системах распределение внутренних усилий зависит от распределения материала по элементам конструкции. Теперь коэффициенты aijr и bir являются сложными функциями переменных у. Для определения усилий в элементах нелинейно упругих систем, можно воспользоваться итерационными методами и строить на их основе итерационные алгоритмы оптимизации. Известно, однако, что последние могут приводить к неоптимальным результатам.

Ниже предлагается способ решения, основанный на декомпозиции исходной задачи, позволяющий получить глобальный минимум объема системы.

Рассмотрим t раз статически неопределимую систему, несущую p несовместных нагрузок. Выберем основную систему метода сил и включим усилия в отброшенных связях при действии каждой из нагрузок в число неизвестных параметров. Тогда задача оптимального проектирования примет вид

Здесь Xkr - усилие в k - той лишней связи при действии нагрузки r .

Для учета совместности деформаций к ограничениям задачи необходимо добавить t * p ограничений по жесткости в виде строгих равенств

Эти уравнения выражают условие равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей при действии каждой из нагрузок.

Общее число неизвестных велико m +1 * p. Произведем декомпозицию задачи. Предположим, что значения Xkr каким-либо образом назначены. Тогда легко можно определить внутренние усилия в элементах системы и подсчитать коэффициенты aijr, аікг и Ьіг. После этого будет получена рассмотренная выше задача выпуклого программирования. Решая ее, найдем минимальный объем конструкции и параметры у, соответствующие назначенным усилиям в лишних связях. В полученном проекте перемещения по направлению отброшенных связей равны нулю. Следовательно, m параметров у и объем системы являются функциями t * p усилий в лишних связях

Таким образом, задача оптимального проектирования статически неопределимых нелинейно-упругих систем в случае нескольких загружений свелась к нахождению экстремума функции усилий в лишних связях. Для нахождения минимума можно воспользоваться методами глобального поиска [3, с.270-284], при этом эффективность поиска возрастает, так как отпала необходимость в расчете статически неопределимой, физически нелинейной системы на каждом шаге.

4. Пример. Ферма (рис.1) выполнена из материала со следующими характеристиками:

На ферму действуют две несовместные нагрузки: первая - силы

Fj = 60 кн, F2 = 120 кн, F3 = 40 кн; вторая - силы F4 = 60 кн и F5 = 40 кн.

Ограничиваются вертикальные перемещения узлов 1 и 7:

-- 0.01 < f1(7) <+0.01.(м) ; Необходимо найти оптимальное распределение материала в ферме, при этом площади поперечных сечений элементов должны лежать в пределах 4см 2 < Ai < 40см 2..(i = 1,...,23) .

Для шарнирно-стержневой системы st - площадь поперечного сечения стержня

где N] - усилие в i - том стержне от вертикальной силы F = 1, приложенной в узле j; Nr - то же, от нагрузки r .

В качестве лишней связи примем опорный стержень в узле 4. Для решения задачи выпуклого программирования (6) использовался алгоритм Франк - Вулфа, а для определения минимума функции (9) - метод случайного поиска с самообучением. Минимальный объем системы составляет 0.186.м 3 и достигается при следующих усилиях в лишних связях X* =-46,4 кН и X*2 =+52.1 кН. (положительные реакции направлены вниз). Оптимальные площади поперечных сечений стержней фермы, при которых реализуются указанные усилия, приведены в таблице 1. Поверхность функции V = V(хм, x1,2) имеет вид чаши (рис.2) со сравнительно плоским "дном" неправильной формы и круто поднимающимися склонами, уклон которых резко возрастает по мере удаления от "дна". Анализ ряда примеров показывает, что такая форма поверхности отклика является типичной для рассматриваемых задач. В верхнем левом углу графика показана область, для которой ограничения задачи (7), (8) образуют пустое множество, то есть при этих значениях усилий в лишней связи не существует распределения материала в ферме, при котором удовлетворяются все ограничения задачи.

Таблица 1. Оптимальные площади поперечных сечений стержней фермы

Заключение

Предложенный подход к оптимизации статически неопределимых нелинейно упругих стержневых систем, сочетающий регулярные и статистические методы поиска, распространяется и на линейно- деформируемые системы, так как при В=Е, n=1 зависимость (1) совпадает с законом Гука. нагрузка стержневой прочность

Вследствие известной [2, с. 423-431] аналогии уравнений теории установившейся ползучести и уравнений нелинейно упругого тела, в случае p = 1 (одно загружение), полученные здесь результаты справедливы также и для систем, находящихся в условиях установившейся ползучести.

Библиографические ссылки на источники

1. Лукаш, П.А. Основы нелинейной строительной механики. -М.: Стройиздат, 1978. -208 с.

2. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 453 с.

3. Растригин, Л.А. Системы экстремального управления. - М.: Наука, 1974. - 632 с.