где F - известная элементарная функция. В силу этого характер плоских движений твёрдого тела при заданных условиях в собственном, идеальном и изотропном силовых полях полностью определён.
Случай осевой кинетической симметрии
Выполним интегрирование уравнений системы (3), (4) при условии
(37)
для различных видов силовых полей.
Из последнего уравнения системы (3) при условии (37) следует Обозначим
В силу условия (37) представим интегралы I1, I2 системы (5) в виде
(38)
Для дальнейшего используются известные зависимости вида
для каждого типа силовых полей пространства [13].
* Случай собственного силового поля. В этом случае имеют место соотношения
в силу чего интегралы (38) приводятся к виду
(39)
Исключая из соотношений (39) величину и полагая в результате получим
(40)
Уравнение (40) является определяющим для величины , причём
(41)
Согласно [14] в силу уравнения (40) получаем
(42)
где - корень полинома - символ эллиптической функции Вейерштрасса с инвариантами
(43)
D1, D2 - постоянные, определяемые равенствами
* Случай идеального силового поля. Здесь имеем тождества
где - радиус опорной сферы для тела в пространстве [3]. В этом случае интегралы (38) принимают вид
(44)
Исключая из равенств (44) величину
и полагая получаем для w уравнение вида (40), в котором
а знаки величин в выражениях (41) для этого случая изменены на противоположные.
* Случай изотропного силового поля. Для данного силового поля имеют место соотношения
В силу этих зависимостей интегралы (38) принимают вид
(45)
Из системы (45) аналогично предыдущему получаем определяющее для у уравнение вида (40)
в котором для данного случая
а знак величины b3 противоположен знаку соответствующего выражения (41).
Выражение (41) для b1 в каждом из данных случаев сохраняется.
Таким образом, явная зависимость вида для каждого типа силовых полей выражается через эллиптические функции времени с заданными инвариантами (43) аналогично представлению (42).
При известной явной зависимости вида функции могут быть получены из интегралов (39), (44), (45) соответственно. Для собственного силового поля зависимость вида с точностью до аддитивной постоянной определяется из аналога кинематического уравнения Эйлера [3]
(46)
В случае идеального и изотропного силовых полей соотношения типа (46), содержащие величину не имеют места в силу структурных особенностей аналогов кинематических уравнений Эйлера для пространства Отсюда положение тела в конфигурационном пространстве при воздействии этих силовых полей определяется с точностью до движения по углу ц.
Заключение
геометрический динамика тело пространство
Механика неевклидовых пространств первоначально возникла на основе неевклидовой геометрии пространств постоянной ненулевой кривизны. Постоянность кривизны пространства проистекает из постулата однородности и изотропности (в среднем) мирового пространства Вселенной. Интенсивное развитие современной теории динамических систем инициировало распространение результатов решения задач классической динамики твёрдого тела на неевклидовы пространства.
Это обусловлено, в частности, тем, что познание динамических свойств объектов, движущихся в неевклидовых пространствах, способствует новому пониманию известных свойств движения в евклидовом пространстве. Например, по Л.Кронекеру, закон притяжения Ньютона, открытый для евклидова пространства, фактически является лишь частным проявлением универсальных аналитических законов, действующих в пространствах ненулевой кривизны [16, c. 24].
Некоторые положения евклидовой механики, воспринимаемые обычно как установившиеся очевидные знания, в реальности являются проявлением особых симметрических свойств евклидова пространства. Эти свойства исчезают при переходе к пространству ненулевой кривизны [16, c. 11].
Симметричность - одно из фундаментальных свойств пространства и времени. В расширенном смысле симметричность есть свойство инвариантности отдельных сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований. В силу этого исследование свойств движения механических объектов в неевклидовых пространствах имеет кардинальное значение не только для механики неевклидовых пространств как самостоятельного научного направления, но и для классической механики, построенной в евклидовом пространстве.
Характерным транзитивным свойством механизма соотнесения евклидова и неевклидовых пространств является установленный факт: перенос положений евклидовой механики на механику неевклидовых пространств принципиально невозможен [16, c. 10]. С другой стороны, некоторые свойства движения твёрдых тел в неевклидовых пространствах можно трактовать как определённые аналоги соответствующих свойств, имеющих место в евклидовом пространстве [3].
Интерес к механике неевклидовых пространств обусловлен выбором неклассической модели, построенной на основе неевклидова пространства, для исследования свойств движения механического объекта. Этот выбор всегда носит эмпирически-гипотетический характер. По словам К.Ф.Гаусса: "… Мы не можем обосновать геометрию a priori …" (письмо Ф.В.Бесселю от 27 января 1829 г.). И далее: " … пространство есть реальность и вне нашего ума, которой мы не можем всецело приписывать закона a priori" (письмо Ф.В.Бесселю от 9 апреля 1830 г.) (цитируется по тексту источника [17, c. 73]). В связи с этим А.Пуанкаре писал: "Никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая" (цитируется по тексту источника [18, c. 41]). Эти высказывания можно отнести и к механике в псевдоевклидовых пространствах.
Список литературы
Широков А.П. Винтовая регулярная прецессия в пространстве Лобачевского // Уч. зап. Казан. ун-та. 1963. Т. 123, кн. 1. С.196?207.
Макеев Н.Н. Задача восстановления в динамике твёрдого тела // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 1(13). С. 19-26.
Косогляд Э.И. Движение твёрдого тела под действием сил на плоскости Лобачевского // Изв. ВУЗ. Сер. Математика. 1970. № 9 (100). С. 59?68.
Clebch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flussigkeit // Mathematische Annalen. 1870. Bd. 3. S. 238?262.
Tisserand M.F. Sur les mouvements relatifs a la surface de la Terre // Comptes Rendus des sйances de l`Academie des sciences. 1872. V. 75, № 26. P. 1567.
Brun F. Rotation kring on fix punkt // Ofversigt at Kongl. Svenska Vetenskaps Akad. Forhandlinger. Stokholm, 1893. V.7. P. 455?468.
Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении твёрдого тела. Варшава, 1910. 62 с.
Погосян Т.И., Харламов М.П. Бифуркационное множество и интегральные многообразия задачи о движении твёрдого тела в линейном поле сил // Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 3. С. 419?428.
Колосов Г.В. О некоторых видоизменениях начала Гамильтона в применении к решению вопросов механики твёрдого тела. СПб., 1903. 76 с.
Харламов М.П. Понижение порядка в механических системах с симметрией // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С. 4?18.
Харламов М.П. Интегральные многообразия приведённой системы в задаче о движении по инерции твёрдого тела с неподвижной точкой // Механика твёрдого тела. Киев: Наукова думка, 1976. Вып. 8. С.18?23.
Милнор Дж. Теория Морса / пер. с англ. М.: Мир, 1965. 184 с.
Макеев Н.Н. Квадратуры геометрической теории динамики гиростата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Перм. ун-т. Пермь, 2012. Вып. 44. С. 87?104.
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа: в 2 ч. / пер. с англ. М.: Физматгиз. Ч. 2, 1963. 515 с.
Харламова Е.И. Некоторые решения задачи о движении тела, имеющего закреплённую точку // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 733?737.
Классическая динамика в неевклидовых пространствах: сб. статей / под ред. А.В. Борисова, И.С. Мамаева. М.; Ижевск. Ин-т компьютерных исследований: науч.-изд. центр РХД, 2004. 348 с.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации: сб. статей / под ред. Е. Куранского. М.: Мир, 1979. 592 с.
Пуанкаре А. Наука и гипотеза / пер. с фр. Сер.: Из наследия мировой философской мысли. М.: Книжный дом Либроком, 2010. 240 с.