Приведённая система геометрической динамики твёрдого тела
Н. Н. Макеев
Приводятся структурные свойства интегрального многообразия динамической системы твёрдого тела, движущегося вокруг неподвижного полюса в центральном ньютоновском гравитационном поле псевдоевклидова пространства
Ключевые слова: твёрдое тело; интегральное многообразие; псевдоевклидово пространство.
Введение© Макеев Н. Н., 2013
Рассматривается движение абсолютно твёрдого тела в псевдоевклидовом пространстве c метрическим тензором gij, отнесённым к пространству конфигураций, компоненты которого g11 = g22 = ?1, g33 = 1 и gij = 0 при i ? j (i, j = 1, 2, 3). Тело вращается вокруг неподвижного полюса О в центральном ньютоновском гравитационном поле, центр притяжения которого находится на расстоянии R от неподвижного полюса тела О. При этом предполагается, что все точки твёрдого тела расположены внутри изотропного конуса пространства , а неподвижный полюс ? в вершине этого конуса. Тогда радиусы-век-торы точек тела являются собственными векторами, для которых rs2 = gij ris rjs > 0. Определения основных динамических величин для неевклидовых пространств даны в работе [1].
В пространстве существуют силовые поля трёх типов: собственное, идеальное и изотропное силовое поле. Пусть s ? направляющий орт силовых линий поля гравитации. Тогда собственному, идеальному и изотропному (несобственному) силовым полям соответствуют такие направляющие орты s, что, соответственно, 2 = (1, ?1, 0). На проективной модели Э.Бельтрами - Ф.Клейна эти силовые поля могут быть представлены пучками первого, второго и третьего рода соответственно.
1. Предварительные положения
Введём правый координатный ортобазис Оx1x2x3, неизменно связанный с телом, оси которого совмещены с главными осями тензора инерции данного тела, отнесённого к неподвижному полюсу О.
Обозначим: Aj ? диагональные элементы матрицы тензора инерции тела; ? угловая скорость тела; ? радиус-вектор центра масс тела; - направляющий орт силовых линий поля; P - вес тела. Здесь всюду j = 1, 2, 3; две оси Оxj (главные оси инерции данного тела) являются идеальными и одна ? собственной [1].
Предполагается, что расстояние от центра притяжения гравитационного поля до полюса О достаточно велико по сравнению с характерными размерами тела. Тогда потенциал гравитационного поля U может быть представлен выражением
(1)
где ? матрица тензора инерции тела, отнесённого к полюсу О; л ? 0 ? характерный гравитационный параметр.
Для дальнейшего положим
(2)
Движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса О в пространстве в силу соотношений (1), (2) определяется динамической системой
(3)
Аналогами уравнений Пуассона в пространстве являются уравнения [3]
(4)
Здесь и всюду далее точка сверху обозначает дифференцирование по времени t.
Система уравнений (3),(4) имеет независимые алгебраические первые интегралы
(5)
существующие при любых начальных условиях. Здесь < … > ? символ суммирования указанных величин по индексу j; h, H ? постоянные интегрирования; ? = 1, ?1, 0 в случаях, при которых орт s ? собственный, идеальный и изотропный соответственно.
Для системы уравнений (3), (4) имеет место дополнительный первый квадратичный интеграл [2]
(6)
где K ? постоянная интегрирования.
Соотношение (6) является аналогом интеграла А.Клебша [4] для твёрдого тела в пространстве R3, существующем в пространстве В некоторых литературных источниках интеграл типа (6), отнесённый к евклидову пространству R3, связывают с именами М.Тиссерана [5] и Ф.Бруна [6], получившими этот интеграл позднее А.Клебша.
В равенстве (6) алгебраическая сумма первых трёх слагаемых является квадратом модуля вектора кинетического момента тела в пространстве Сумма величин с коэффициентом л2 соответствует потенциалу силового поля, притягивающего точки твёрдого тела неподвижной плоскостью силами, пропорциональными по модулю расстояниям точек тела до этой плоскости. Этот потенциал относится к одному из силовых полей типа видоизменённых полей Д.Н.Горячева [7].
Полагая представим интегралы в виде
(7)
2. Приведённая система
Интеграл I3 (5) выражает свойство инвариантности относительно действия группы поворотов по отношению к силовым линиям поля с направляющим ортом s, порождающим векторное поле этой группы. При этом пространство переменных есть пятимерное многообразие а динамическая система, определяющая движение твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в конфигурационном пространстве задаётся системой уравнений (3), (4).
Проведём анализ структуры интегрального многообразия данной системы для случая собственного силового поля псевдоевклидова пространства следуя известному подходу [8].
Выполним преобразование щ (щj) в силу уравнений системы (4). На множестве переменных, определяемом интегралом I2 (5), преобразование, обратное данному, является единственным и представляется системой соотношений
(8)
где обозначено
(9)
Равенства (8), (9) являются аналогами кинематических соотношений Г.В.Колосова, имеющих место для евклидова пространства R3 [9].
Соотношения I1, I4 (7), выраженные через переменные по формулам (8), примут вид соответственно
(10)
Здесь P, Q - алгебраические функции компонент указанных векторов.
В силу тождества пространство переменных является касательным расслоением T (S 2) единичной сферы I3 (5).
Применяя к системе уравнений (3), (4) преобразование (8), в результате получим систему уравнений второго порядка относительно переменных определя-ющую на касательном расслоении векторное поле V. Известно [10], что векторное поле такого рода в некоторой симплектической структуре является гамильтоновым, генерированным гамильтонианом H = P (10).
Векторное поле V, для которого скобка Пуассона [P, Q] ? 0 является приведённой системой [8], определяющей движение орта s собственного силового поля относительно базиса, неизменно связанного с твёрдым телом. В силу этого данное поле определяет движение тела с точностью до его вращения вокруг оси с собственным направляющим ортом s, проходящей через неподвижный полюс О.
Пусть - подмножество, определяемое равенствами (10), представляющее интегральную поверхность приведённой системы. Это подмножество для всех значений параметров h, K является гладким двумерным многообразием. При этом, если W не является пустым множеством, то каждая её связная компонента диффеоморфна двумерному тору, движение на котором ? условно-периодическое [8].
Можно показать, что в случае собственного силового поля для достаточно больших значений параметров (h, K) > 0 имеет место режим быстрых вращений тела, в силу чего данная приведённая система может быть интерпретирована как возмущение соответствующей приведённой системы для аналога случая Эйлера-Пуансо в пространстве В этом случае дополнительный интеграл I4 (7) в фазовом пространстве “отделяется” от интеграла, выражающего инвариантность модуля вектора кинетического момента тела для случая интегрируемости Эйлера-Пуансо.
Введём интегральное отображение [8]
: (11)
Для движения твёрдого тела в пространстве R3 в случае Эйлера-Пуансо отмечено [11], что все некритические интегральные многообразия имеют связные компоненты. Это свойство имеет место и в случае собственного силового поля пространства При этом, согласно теореме Морса [12], это свойство сохраняется при малых возмущениях интегрального отображения (11).
Таким образом, рассмотренные свойства интегрального многообразия уравнений движения твёрдого тела в собственном силовом поле пространства идентичны соответствующим свойствам, существующим в аналогичной динамической задаче для евклидова пространства [8].
3. Кинематические соотношения
В задачах динамики твёрдого тела для пространства иногда целесообразно вместо зависимостей (8) пользоваться соотношениями вида
(12)
Здесь - вектор параметров ориентации ? аналогов углов Эйлера [3], причём
Выполняя в аналоговых равенствах (8) преобразования
(13)
(j = 1, 2, 3), получим зависимости вида (12)
(14)
Соотношения вида (13) для каждого силового поля пространства (собственного, идеального и изотропного) известны [13]. В силу преобразований (13) зависимости (14) представляются равенствами
(15)
Здесь обозначено
причём
(16)
? для собственного силового поля (= 1);
(17
- для идеального силового поля = ? 1);
(18)
? для изотропного силового поля (= 0).
В равенствах (16)?(18) обозначено
(19)
Для соотношения (15) в случае собственного, идеального и изотропного силовых полей имеем, соответственно,
(20)
где причём E ? единичная матрица; определяются равенствами (19).
Соотношения (15)?(18), полученные на основе преобразования Г.В.Колосова, отличаются от известных аналогичных уравнений для пространства [13] тем, что в приведённых соотношениях компоненты щj вектора щ не зависят явно от величины скорости прецессии
4. Частные решения
Приведём некоторые частные решения системы уравнений (3), (4) для твёрдого тела в пространстве подчинённые заданным структурно-динамическим ограничениям. В силу вводимых ограничений задача поиска данных решений рассматривается как ограниченная задача с заданными связями.
Случай линейных кинематических связей
Из полного многообразия возможных движений, порождаемых динамической системой (3), (4), выделим движения, совместимые с линейным кинематическим условием
(21)
где и n1n2n3 ? 0. Здесь постоянные подлежат определению.
Подставляя выражения (21), представленные в компонентах векторов, в уравнения системы (3), (4), получим условия совместности соответствующих подсистем в виде
(22)
Система уравнений (22) относительно величин имеет решение
(23)
где обозначено
(24)
Здесь c ? 0 - произвольный параметр, такой, что аj ? 0 ( j = 1, 2, 3) и, кроме того,
(25)
В соотношениях (22), (23) предполагается, что
Система уравнений (3) в силу соотношений (22)-(24) приводима к виду
(26)
и имеет независимые алгебраические первые интегралы
(27)
Здесь h1, H1 - постоянные интегрирования, H - постоянная интеграла I2 системы (5).
Исключая из системы (27) величину щ3, в результате получаем
(28)
где обозначено
В фазовом щ-пространстве уравнение (28) соответствует цилиндрической поверхности, которая в силу условия (25) не является распадающейся.
Введём геометрический инвариант
При I0 > 0 цилиндр (28) является эллиптическим, а при I0 < 0 - гиперболическим. В первом случае уравнению (28) относительно щ1, щ2 удовлетворяет решение
(29)
а во втором - решение
(30)
В соотношениях (29), (30) обозначено
а u - новая (промежуточная) переменная.
Уравнению (28) удовлетворяет также решение, представленное в эллиптических функциях Якоби
(31)
имеющее место при I0 > 0.
Из первого равенства системы (27) в силу соотношений (29) следует
(32)
Аналогичные выражения имеют место и для решений (30), (31).
Из соотношений (29), (32) в силу уравнений системы (26) следует, что зависимость вида u (t) выражается в эллиптических функциях времени. Действительно, из первого уравнения (26) в случае собственного силового поля для переменной следует квадратура вида
(33)
Здесь с, с1, с2 - постоянные, выраженные через параметры соотношений (26), (29), (32); б - постоянная интегрирования. Интеграл в равенстве (33) приводится к эллиптическому интегралу первого рода [14].
Обращая соотношение (33), получаем явную зависимость u(t) в виде эллиптической функции Якоби.
Аналогичная задача поиска частных решений системы уравнений движения твёрдого тела в евклидовом пространстве рассмотрена в работе [15].
Случай плоских движений
Под плоскими движениями твёрдого тела в различных силовых полях пространства понимаются аналоги собственно плоского движения тела в пространстве R3, подчиняющиеся условиям Характер данных движений обусловлен видом силового поля, под воздействием которого происходит движение тела.
Учитывая выражения для компонент щj ( j = 1, 2, 3) в зависимости от параметров ориентации для данных движений получаем следующие представления.
* Орт s ? собственный. Здесь имеем
(34)
В этом случае система (3) сводится к определяющему уравнению
(35)
где обозначено
* Орт s - идеальный. В этом случае получаем
,
и выражения (34) для щj , а также уравнение (35) сохраняются.
* Орт s - изотропный. Здесь имеют место соотношения
где согласно обозначениям (19). В силу этого система (3) сводится к определяющему уравнению
(36)
где обозначено
Таким образом, плоские движения тела в силовых полях пространства определяются уравнениями (35), (36). Интегрирование этих уравнений стандартными приёмами сводится к квадратурам, которые для уравнения (35) являются эллиптическими, а для уравнения (36) с точностью до аддитивной постоянной представляются в виде