(208)
(209)
Поскольку частицы испускаются в положительном направлении оси Оz, в области z0 плотность потока равна 0 и область изменения z в уравнении (208) следует считать полубесконечный интервал (0,).
Это обстоятельство позволяет применить для решения уравнения (208) преобразование Лапласа по координатам:
(210)
где трансформанта Лапласа Ф(,E) выражается через плотность потока следующим образом:
(211)
Умножим обе части уравнения (208) на и проинтегрируем по z от 0 до . Преобразовав первый член интегрированием по частям с учетом граничного условия (209) и, использовав обозначение (211), получим:
После преобразования Лапласа остальных членов уравнения (208) приходим к уравнению для трансформанты плотности потока:
(212)
которое в отличие от (208) не содержит производных и является интегральным уравнением типа уравнения деградации энергии. Введя обозначение
(213)
Перепишем уравнение (312) в виде
(214)
При действительных уравнение (214) по форме совпадает с уравнением деградации энергии для частиц с макроскопическим сечением столкновений и дифференциальным сечением рассеяния
Из (213) видно, что по мере уменьшения обращается в нуль, а потом становится отрицательной. Отсюда следует, что решение уравнения (214) существует лишь в области
Если выполняется условие
то для трансформанты рассеянной компоненты плотности потока получим
(215)
Если и C не зависят от энергии, формула (215) упрощается:
(216)
Перейдем к восстановлению энергетического спектра рассеянных частиц:
(217)
гдеRe=C-
Введем обозначения
Тогда формула (217) примет вид:
(218)
Функция , представляющая собой обратное преобразование Лапласа функции s-2exp(a/s),равна
'
где I1- модифицированная функция Бесселя первого порядка. Таким образом
(219)
В частности, при малых значениях аргумента I1(x), поэтому
(220)
При больших значениях аргумента , следовательно,
(221)
Из (219)-(221) видно, что с увеличением z отношение рассеянного излучения к нерассеянному возрастет сначала линейно (когда главную роль играет однократное рассеяние), затем более сложным образом, причем низкоэнергетическая часть спектра, обусловленная многократным рассеянием, растет быстрее высокоэнергетической.
Список литературы
1. А.М. Кольчужкин, В.В. Учайкин «Введение в теорию прохождения частиц через вещество». М., Атомиздат,1978, 256с.
2. В.Н.Русак «Математическая физика», Минск, 1998
3. Деч Густав «Руководство к практическому применению Лапласа и Z-преобразования».М.:Наука,1971
4. Л.Г. Смышляева «Преобразования Лапласа функций многих переменных» Изд-во ЛГУ, 1981