Материал: Практика Векторная алгебра
6
|
6.6. Найдите |
|
скалярное |
|
и |
векторное |
произведение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
i |
2 j |
3k и b |
2i |
j k . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.7. Найдите |
|
проекцию |
|
вектора а |
2i |
3 j |
4k |
||||
составляющую с осями координат равные острые углы.
векторов
на ось,
6.8.Найдите внутренний угол А треугольника АВС с вершинами
A(1; 2; 3), B(3; 2; 1), C(1; 4; 1).
6.9.Найдите площадь треугольника АВС с вершинами А(3; –1; –4),
В(5; 2; –2), С(7; –4; –2).
6.10.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2l1 |
l2 |
и b |
l1 |
3l2 , если |
l1 |
2 , |
|
|
l2 |
|
1, |
l1 l2 |
30 . |
||
|
6.11. Найдите |
объём |
параллелепипеда, построенного на векторах |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
4i |
3 j |
, b 2i |
j |
2k |
и с 3i 2 j 5k . |
|
|||||||||
|
6.12. Покажите, |
что |
точки |
A(5; 7; –2), |
B(3; 1; –1), C(9; 4; –4), |
|||||||||||
D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
6.13. В правильном тетраэдре SАВС точка М – середина стороны SС. Найдите угол между ребрами пирамиды SA и BM.
7
ОТВЕТЫ
1. Разложение векторов
1.1. BO |
2 |
|
АВ |
1 |
АС . 1.2. |
АМ |
1 |
|
АВ |
2 |
|
АС . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
1.3. SМ |
|
|
|
SА |
|
|
SB |
|
SC . 1.4. |
c |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b . 1.5. АD |
|
|
АM |
|
|
|
|
АN . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
1.6. MD |
|
АВ |
|
|
АD. 1.7. АМ |
|
|
|
|
|
АВ |
|
АD . 1.8. c |
|
|
a |
|
|
b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Векторы в декартовой прямоугольной системе координат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.1. 3. 2.2. |
7 , cos |
, cos |
|
, cos |
. 2.3. М(3 |
2 ; 3; 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
или М(3 |
2 ; 3; –3). 2.4. 3. 2.5. b 12i |
21 j |
12k . 2.6. D(10; –5; 3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7. М М |
|
|
|
9, cos |
1 |
, cos |
2 |
, |
cos |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 3 3
2.8.b 5i 10 j 10k . 2.9. d1 
30 , d2 
50 . 2.10. AD 4; 1; 4 .
3.Скалярное произведение векторов1 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. –14. 3.2. –11. 3.3. |
7 |
|
. 3.4. 7 , 13 . 3.5. |
|
7 . 3.6. –8. 3.7. 7. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.8. 45°. 3.9. 5. 3.10. |
х |
i |
2 j |
k . 3.11. 120°. 3.12. 1. 3.13. 135°. 3.14. –4. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. х |
3i 3 j 3k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Векторное произведение векторов |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.1. а) 6 a |
b ; |
б) 6k |
. 4.2. 7. 4.3. 21. 4.4. |
5i |
j |
8k . 4.5. 15. 4.6. 9. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.7. m 8i 9 j 4k . 4.8. 11. |
4.9. а) 3i ; б) |
3 j . 4.10. 5. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.11. m 10i 10 j |
|
5k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Смешанное произведение векторов
5.1.а) abc ; б) 3abc . 5.2. 39. 5.3. 12. 5.4. 4. 5.6. 5. 5.7. ±27. 5.8. 11.
5.9.Векторы компланарные.
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дополнительные задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6.1. АB 3АO АС , BC 3АO 2АС . 6.2. d |
a |
b |
c . |
|||||||||
6.3. |
|
7, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
||||||||||||
MN 7; 6; 10 . 6.4. 4. 6.5. 4. 6.6. ab |
a |
b |
i 5 j |
3k . 6.7. 3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
6. 8. 60°. 6.9. 11. 6.10. 7. 6.11. 12. 6.13. arccos |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||