Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)»
ОТЧЁТ
Лабораторная работа по курсу теория вероятностей и математическая статистика
Практика расчета вероятностей сложных событий
Вариант 9
Преподаватель
Д.А.Пак
Томск 2020
Цель работы: Проведение расчетов вероятностей сложных событий с использованием формулы классического определения вероятности. Применение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
Обозначения.
- число сочетаний из N элементов по m.
Основные формулы.
1. При классическом определении вероятность события А определяется равенством
P= m/n
в котором m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, n - общее число возможных элементарных исходов испытания.
2. Формула полной вероятности. Вероятность P(A) события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …Нn, образующих полную группу (P(H1) + P(H2) +…+ P(Hn) =1), равна
P(A) = P(H1) P(A/H1) + P(H2) P(A/H2) +…+ P(Hn) P(A/Hn)
В этой формуле P(A/Hi) - условные вероятности, т.е. вероятности появления события A при условии, что событие Hi совершилось.
3. Формула Бейеса. Событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …Нn. Если событие A уже произошло, то вероятности гипотез могут быть вычислены по формуле
P (Hi /A ) = P(Hi) P(A/Hi) / P(A)
Задача 1
Брошены 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий:
а) сумма выпавших очков равна 12;
б) сумма выпавших очков равна 9, а разность 5;
в) сумма выпавших очков равна 5, если известно, что их разность равна 5;
г) сумма выпавших очков равна 2, а произведение 4.
Решение:
а) Случайный эксперимент - бросание двух игральных костей. Событие - число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Перечислим все события: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит n = 6. Событию А = {выпало 12 очков} благоприятствует одно событие, m={6 и 6}-одно событие. n- число всевозможных событий 6*6=36, отсюда по формуле (1) вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 12 P = m/n = 1/36.
б) Событие А - сумма выпавших очков равна 9
Событие Б - разность выпавших очков равна 5.
m = {(3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3)} - ни одного способа, где их разность будет равна 5. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = m/n = 0/36 = 0.
в) Событие В. m = {(3, 2); (2, 3); (1, 4); (4, 1)}-ни одного способа, где их разность может быть равна 5. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = 0/n = 0/36 = 0.
г) Событие Г. m = {(1, 1)}- на одного способа, где их произведение может быть равно 4. n- число всевозможных событий 6*6=36. Тогда: P = 0/n = 0/36 = 0.
Задача 2
вероятность формула бейес задача
В ящике N=12 деталей, помеченных номерами 1, 2,...12. Наудачу отобраны m=9 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей есть детали
а) с номером k1 = 5
б) с номерами k1 =5 и k2 =4.
Решение:
Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 9 из 12 деталей, т.е . Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных девяти деталей есть деталь с номером 5, следовательно, остальные 8 деталей имеют другие номера. Число таких исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 8 деталей из оставшихся 11, т. е .
а) Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:
Р==165/220=0,75=3/4
б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных деталей, есть детали под номером 5 и 4, следовательно, 7 остальных деталей имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно извлечь 7 деталей из оставшихся 10, т.е .
Искомая вероятность Р==120/220=6/11
Ответ: а)3/4 б)6/11
Задача 3
В партии из N=18 деталей имеется n= 14 стандартных. Наудачу отобраны m=11 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k=9 стандартных.
Решение: Общее число элементарных исходов равно . Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа 14 стандартных взято 9,а остальные 2 детали взяты из 4 нестандартных деталей, следовательно число благоприятствующих исходов равно =2002*1=2002. Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность интересующего нас события Р(А)==2002*6/31824=12012/31824=0,377.
Ответ: вероятность того, что среди отобранных деталей 9 стандартных равно 0,377
Задача 4
На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено N=18 учебников, причем n=14 из них - в переплете. Студент наудачу берет 11 учебников. Найти вероятность того, что среди отобранных учебников 9 учебников окажутся в переплете.
Решение:
Общее число элементарных исходов равно . Благоприятствующими являются исходы, когда из общего числа 14 переплетенных учебников взято 9,а остальные 2 учебника взяты из 4 обычных, следовательно число благоприятствующих исходов равно =2002*1=2002. Следовательно, по классическому определению вероятности, вероятность того, что среди одиннадцати отобранных учебников девять окажутся в переплете Р(А)==2002*6/31824?0,377.
Ответ: вероятность того, что среди отобранных учебников 9 учебников окажутся в переплете 0,377
Задача 5
В каждой из 3-х урн содержится n=15 черных и m=13 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и перемещен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
Решение: Задача решается с помощью формулы (2) для полной вероятности. Гипотеза H1 - из 1-й во 2-ю урну переложен белый шар и из 2-й- в 3-ю то же белый, условно Б (12) Б(23), гипотеза H2: Б (12) Ч(23) (из 2-й- в 3-ю переложен черный шар), гипотеза H3: Ч (12) Б(23), гипотеза H4: Ч (12) Ч(23)
A1 - вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар. A2 - вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар.
P(A1)=13/28;P(A2)=15/28B1 - вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну белый шар.B2 - вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, после того как из первой урны переложили во вторую урну черный шар.P(B1)=14/29 P(B2)=13/29C1 - вероятность того, что из второй корзины будет извлечен белый шар. C2 - вероятность того, что из второй корзины будет извлечен черный шар.
P(C1)=P(A1)*P(B1)+P(A2)*P(B2)P(C1)=15/28*14/29+15/28*13/29=405/812P(C2)=1-P(C1)P(C2)=1-405/812=407/812D1 - вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в третью урну белый шар. D2 - вероятность того, что из третьей урны извлечен белый шар, после того как из второй урны переложили в третью урну черный шар.P(D1)=14/29;P(D2)=13/29E - вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар.
P(E)=P(D1)*P(C1)+P(D2)*P(C2)
P(E)=14/29*405/812+13/29*407/812?0,46
Ответ: вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым 0,46
Задача 6
Две машинистки набирают один и тот же текст. Вероятность того, что первая машинистка допустит ошибку равна p1=0,85, а вторая - p2=0,9. При сверке текста была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.
Решение: для решения данной задачи используем формулу Бейеса
P (Hi /A ) = P(Hi) P(A/Hi) / P(A).
Обозначим через А событие - обнаружена ошибка в тексте. Можно сделать два предположения (гипотезы).
Н1 - набивала текст машинистка №1
Н2 - набивала текст машинистка №2. Поскольку имеется две гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице
Р(Н1) = Р(Н2) = Ѕ, то ( Р(Н1) + Р(Н2) = 1 )
Условная вероятность того, что первая машинистка допустила ошибку:
Р (А/Н1) =0,85, а вторая - Р (А/Н2) = 0,9.
Вероятность, что при наборе текста допущена ошибка, находим по формуле полной вероятности:
Р (А) =Р (Н1) • Р (А /Н1 + Р (Н2 ) • Р (А /Н2 ) = 1/2· 0,85+ 1/2 · 0,9 = 0,425+0,45=0,875.
Искомая вероятность того, что ошиблась первая машинистка, по формуле Бейеса равна:
P (Hi /A ) = P(Hi) P(A/Hi) / P(A).
Подставим в формулу (0,5*0,85)/0,875=0,425/0,875=17/35
Ответ: Вероятность того, что ошиблась первая машинистка равна 17/35.