Материал: Построение цифровых моделей рельефа

Построение цифровых моделей рельефа

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ

1 Создание цифровых моделей рельефа и их виды.
Применение и задачи, решаемые с использованием ЦМР

С помощью новой технологии географических информационных систем (ГИС), в отличие от аналога - обычных "бумажных" карт, возможно обработать полученные цифровые данные и создать максимально приближенную к действительности пространственную трёхмерную модель или по-другому цифровую модель рельефа (ЦМР).

Цифровая модель рельефа - это математическое представление участка земной поверхности, полученное путем обработки материалов топографической съемки. Такая модель позволяет не просто посмотреть положение одного объекта относительно другого, но и уточнить структуру исследуемого объекта, а также просчитать объект путем интерполяции, аппроксимации или экстраполяции [5].

Как следует из самого понятия ЦМР создаётся на базе математического аппарата с использованием компьютерной техники и информации ГИС. Для правильности пересчёта и оптимальности затрат ресурсов необходимо чтобы математический аппарат был адекватно подобран и способен обработать информацию правильно в кратчайшие сроки и с минимально возможным использованием компьютерной памяти.

Для создания цифровых моделей рельефа необходима обработка имеющихся топографических данных: вычисление некоторой точки производится с использованием алгоритма интерполяции (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными абсолютно точно) или аппроксимации (значения, получаемые в исходных точках, совпадают с истинными с некоторой степенью точности). Также точность воспроизведения особенностей рельефа местности в ЦМР зависит от выбора метода расчёта. Для обработки может быть использована одна приближённая формула для всей территории, так называемый глобальный алгоритм, или применение разных формул для разных участков моделируемой местности, так называемый кусочно-локальный алгоритм. Оптимальность выбора в этом случае определяется качеством исходных данных: не имеет смысла решать сложную интерполяционную задачу при низком качестве данных; и знаниях о рельефообразующих процессах: если рельеф территории образовался преимущественно под действием одного процесса или нескольких тесно связанных имеет смысл использовать глобальный алгоритм, если имели место несколько малосвязанных процессов, то кусочно-локальный алгоритм [6].

Различают следующие виды цифровых моделей рельефа [7]:

-   регулярные;

-   структурные;

-   нерегулярные.

Для регулярных моделей рельефа характерно расположение точек с известными пространственными координатами в вершинах сетки квадратов (рисунок 2 а), прямоугольников, равносторонних треугольников (рисунок 2 б) или других правильных фигур (шестиугольник на рисунке 2 в). Либо особенные ЦМР с системой поперечных профилей, проведенных через определенные расстояния вдоль заданной линии (например, оси трассы). В случае линейной ЦМР положение любой точки по высоте определяется линейной интерполяцией высот внутри заданной ячейки пространственной сетки (квадрата, прямоугольника или треугольника). Основным недостатком такой модели рельефа является то, что расположение точек на местности получается неоптимальным, поскольку на некоторых участках нужна большая точность и соответственно большее количество точек, на прочих наоборот имеющееся количество точек излишне. Отсюда и второй недостаток - увеличенные трудозатраты при разбивке местности узловыми точками. Основное применение регулярных ЦМР - составление моделей повышенной точности. Весьма эффективными их можно считать при проектировании планировки различных инженерных объектов, аэропортов и улиц городов на равнинных участках рельефа.

Рисунок 2 - Виды ЦМР: а - в узлах правильных прямоугольных сеток; б - в узлах треугольных сеток; в - в узлах шестиугольных сеток (регулярные); г - структурные - на поперечниках к магистральному ходу; д - на горизонталях; е – нерегулярные на структурных линиях; ж - статистическая; з - на линиях, параллельных оси фотограмметрических координат.

Структурные ЦМР предполагают размещение узловых точек с известными пространственными координатами на структурных линиях рельефа (рисунок 2 г, д), местах изменения углов наклона склонов, на характерных линиях дороги, урезах рек и тому подобное. В этом случае отметки вдоль структурной линии меняются в соответствии с полиномиальной зависимостью. Структурной ЦМР требуется меньшая плотность точек, чем регулярной. При линейной интерполяции структурная модель рельефа показывает высокую эффективность, например, для описания поверхности городских дорог. Кроме того, такую ЦМР можно составить и при низком качестве исходных данных, их низкой автоматизации ,в том числе при ручной обработке снимков, топографических планов и тому подобного материала.

В нерегулярных ЦМР точки располагаются без использования какой-либо определённой системы, но с одинаковой заданной плотностью (рисунок 2 е, ж, з). Эта особенность обеспечила нерегулярным цифровым моделям универсальность и в этой связи наибольшую распространённость в настоящее время.

ЦМР возможно применять как для цифровых вычислений различных характеристик местности, так и для трёхмерной визуализации территории, что крайне полезно, например, для создания виртуальных моделей местности . Также ЦМР можно использовать для решения множества других задач [8]:

·   для вычисления уклонов и экспозиции склонов, а также других геометрических параметров рельефа местности, что очень важно не только при строительстве дорог и различного рода трубопроводов, но и для правильного планирования засева полей в сельском хозяйстве и некоторых других отраслях;

·   для анализа видимости с целью прокладки сетей коммуникации, решения военных задач или в других отраслях;

·   а также для анализа освещённости территории и ветрового режима;

·   для ортокоррекции изображений;

·   для проведения проектно-изыскательных работ и мониторинга динамики рельефа;

·   для мониторинга и прогнозирования геологических и гидрологических процессов;

·   для создания модели возможного затопления;

·   и для многих других.

2 Методы расчёта ЦМР

Главным методом расчёта цифровых моделей рельефа является метод интерполяции поверхностей, позволяющий прогнозировать значения точек в местах отсутствия измеренных значений по ограниченному набору опорных точек с известными значениями.

Для этого в зависимости от вида ЦМР (регулярная, структурная, нерегулярная) производят соответствующую выборку точек. Далее определяются со свойствами исследуемого рельефа и ставят в соответствие пространственную корреляцию определённого типа, которая определяет зависимость между близкими и отдалёнными пространственными объектами (пространственную структуру данных). Автокорреляция бывает:

-  положительная (наиболее распространённая) - считается, что пространственно близкие объекты имеют сходные характеристики;

-  отрицательная - наоборот, что пространственно близкие объекты имеют различные характеристики;

-  нулевая - характеристики объектов не зависят от их взаимного месторасположения.

При помощи интерполяции рельеф местности представляется в одном из двух видов:

-  как функция ;

-  как поле случайных величин.

Соответственно есть и две основные группы методов интерполяции:

а) детерминистские - интерполируют с примененеим математических функций без содержания случайной компоненты:

1) метод обратных взвешенных расстояний (ОВР);

2) сплайн;

3) тренд (или метод глобального полинома);

б) геостатические - в основе лежат математические и статистические модели, учитывающие пространственную автокорреляцию:

1) кригинг.

Метод обратных взвешенных расстояний основан на расчёте каждой ячейки растра путём усреднения значения опорных точек в заданной окрестности данной ячейки. При этом вес (вклад в интерполируемое значение) точки определяется исходя из её положения относительно центра расчётной ячейки: чем ближе к центру, тем больше вес. Как следует из названия вес опорной точки есть обратная функция расстояния в n-ой степени  (как правило n=2). Соответственно чем больше степень n, тем большее влияние оказывают ближайшие точки и меньшее удалённые, что приводит к большей детализации поверхности и её меньшей сглаженности.

Лучше всего методом ОВР интерполируются однородные поверхности с достаточным количеством равномерно распределённых точек.

Методом сплайн-интерполяции получается поверхность с минимальной кривизной, точно проходящая через заданные опорные точки. Этот метод позволяет строить модель рельефа с учётом и глобального тренда и локальных вариаций. В этом случае минимизируется сумма квадратов величин второй производной в каждой точке поверхности. Метод сплайн-интерполяции можно применять для плавно изменяющихся поверхностей, для резких изменений не подходит.

Тренд-интерполяция использует метод наименьших квадратов для подбора математической функции (полинома заданного порядка) ко всем опорным точкам, подходящей для описания поверхности. При этом полученная результирующая поверхность  минимизирует отклонения от входных точек: чем меньше среднеквадпатическая ошибка между рассчитанным и входным значениями, тем точнее интерполированная поверхность представляет входные точки). Полученная таким методом поверхность редко проходит через изначальные опорные точки.

Метод тренд-интерполяции выбирают, когда нет необходимости в точном моделировании локальных неровностей, а необходимо определение общих тенденций моделируемого рельефа. Ограничением применения данного метода является необходимость в медленном изменении моделируемой характеристики.

Ключевой метод геостатики - кригинг предназначен для анализа пространственно-распределенных данных. Опирается данный метод на гипотезу пространственной однородности (стационарность 2 порядка):

-  пространственная изменчивость статически однородна по всей поверхности;

-  вариации в значениях исходных опорных точек зависят от расстояния между ними, но не от их местоположения.

При обработке поверхности методом кригинга считаются пространственные изменения в точках как сумма трёх компонент:

-  структурной компоненты, представляющей общий тренд рельефа в определённом направлении, может описываться какой-либо математической функцией, либо считается. что нет тенденции (в большинстве случаев);

-  случайная, но пространственно-коррелированная компонента - это некоторые отклонения от тренда случайные, но связанными между собой пространственно;

-  случайный шум - по сути остаточная ошибка, случайная величина, не связанная ни с общей тенденцией, ни друг с другом.

Одним из наиболее распространенных методов, особенно для построения карт вручную, является способ триангуляции. Для реализации этого способа строят систему неперекрывающихся треугольников (проводят триангуляцию множества исходных точек на карте). В результате этого получается представление поверхности в виде многогранника с треугольными гранями, где проекция каждой грани на картографируемую плоскость есть соответствующий треугольник триангуляции, а высоты равны значениям Z(i) в i-х точках.

Триангулировать множество точек на плоскости можно разными способами, от способа зависит и получаемая поверхность. Оптимальной для моделирования модели рельефа является триангуляция Делоне. Её особенность в том, что для каждой исходной точки строится локальный полином первой или второй степени и по триангуляции эти локальные полиномы складываются в одну гладкую поверхность, что позволяет избежать изломы изолиний на ребрах полигонов. Для создания ЦМР таким методом необходимо чтобы выполнялось условие Делоне - внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не должна попадать ни одна из заданных точек триангуляции как показано на рисунке 3.

Рисунок 3 - Условие Делоне

Следует заметить, что обычно первичные данные цифрового моделирования рельефа имеются или с использованием тех или иных операций приводятся к одному из двух наиболее широко распространенных представлений поверхностей в ГИС: растровому представлению GRID или модели TIN.

3 Регулярная сеть высот (GRID)

Растровая модель рельефа относится к регулярным ЦМР. Для её реализацию всё пространство делится на отдельные элементы - пиксели, которые являются далее не делимыми. Эти элементы образуют регулярную сеть высотных отметок (высот). Подобные цифровые модели рельефа создаются национальными картографическими службами многих стран. Регулярная сеть высот представляет собой решетку с равными прямоугольниками или квадратами, где вершины этих фигур являются узлами сетки ,что может быть представлено в виде, показанном на рисунке 2 а), либо на плоскости регулярная сеть высот может иметь вид, показанный на рисунке 4 а), либо в трёхмерном виде данное представление будет иметь вид, показанный на рисунке 4б).

Первым пакетом программ, позволяющим моделировать рельеф с помощью регулярной модели высот, который нашёл своё применение и развитие, был пакет GRID, что в переводе с английского - решетка, сетка, сеть. Создали его в конце 1960-х гг. в Гарвардской лаборатории машинной графики и пространственного анализа (США). В этом пакете реализовали возможность множественного ввода различных слоёв растровых ячеек.

В соответствии с названием этого пакета, а также его хорошем отображении свойств регулярной модели высот, в современных ГИС-пакетах, таких как ArcGIS и Surfer растровая модель пространственных данных также именуется как GRID.

Основным при работе с GRID является правильный выбор плотности сетки (пикселя), поскольку этот параметр отвечает за пространственное разрешение будущей ЦМР. Меньший пиксель делает ЦМР точнее, а пространственное разрешение выше. Однако, это означает задание большего количества узлов сетки, для обработки которых требуется повышенные компьютерные ресурсы и затрачивается большее время. Поэтому важно оптимально подобрать размер ячейки, удовлетворив требования в достаточной точности, но не превысив минимально необходимые для этого ресурсы.

Путем интерполяции, аппроксимации, сглаживания и иных трансформаций к растровой модели могут быть приведены ЦМР всех иных типов [4].

4 Нерегулярная триангуляционная сеть (TIN)

В начале 1970-х гг. был реализован другой метод составления цифровых моделей рельефа, основанный на нерегулярной сетке, соединяющей набор неравномерно расположенных точек, - модель TIN (Triangulation Irregular Network - триангуляционная нерегулярная сеть). Эта модель до сегодняшнего дня остаётся одной из самых распространённых среди нерегулярных. В 1970-е гг. было создано несколько вариантов данной системы, коммерческие системы на базе TIN стали появляться в 1980-е гг. как пакеты программ для построения горизонталей. Модель TIN используется для цифрового моделирования рельефа, при этом произвольно расположенные точи соединяются линиями с образованием смежных непересекающихся треугольников с разными характеристиками (длинами рёбер, углами). Однако, при всей своей нерегулярности выбор треугольников должен подчиняться условию Делоне, описанному выше и показанному на рисунке 3.

В пределах каждого треугольника модели TIN поверхность обычно представляется плоскостью. Поскольку поверхность каждого треугольника задается высотами трех его вершин, применение треугольников обеспечивает каждому участку мозаичной поверхности точное прилегание к смежным участкам. Это обеспечивает непрерывность поверхности при нерегулярном расположении точек.