Постановка задачи математического моделирования процесса диффузии, осложненного химической реакцией
Использование серной кислоты при подготовке химически очищенной воды на ТЭЦ ВАЗа обусловливает проведение дополнительных технологических операций - нейтрализации сточных вод. Сброс воды в бак нейтрализации (БН) ведется с разных участков технологической цепи подготовки воды, при этом состав сточных вод остается постоянным: раствор серной кислоты, сульфаты кальция и магния. Нейтрализация осуществляется путем подачи известковой воды на вход рециркуляционного насоса (РН, рис. 1). Смесь раствора из бака нейтрализации и известковой воды (ИВ) возвращается в бак, где и происходит нейтрализация. Контроль значения pH осуществляется на выходе рециркуляционного насоса.
Рис. 1. Функциональная схема процесса нейтрализации
На первом этапе разработки системы автоматической стабилизации pH была предпринята попытка описать поведение pH в баке нейтрализации интегрирующим звеном, однако такой подход справедлив лишь для среднего значения pH. На практике из-за плохого перемешивания жидкости в баке и протекания химической реакции с переменной скоростью, зависящей от концентрации, объект не может быть описан с необходимой точностью в классе сосредоточенных систем.
Из-за конструктивных особенностей бака в нем создается устойчивый контур, по которому циркулирует раствор извести, что является причиной разного поведения pH (рис. 2) при открытом и закрытом клапане подачи извести.
В общем виде, поведение концентраций кислоты и известковой воды в баке нейтрализации может быть описано системой уравнений диффузионных потоков в векторной форме, дополненной соответствующими граничными условиями [1]:
(1)
Рис. 2. Результаты активного эксперимента
где - функция концентрации щелочи в каждой точке среды, - кислоты, D ? коэффициент диффузии, k - константа скорости химической реакции, - вектор скорости щелочи в каждой точке среды, - вектор скорости кислоты в каждой точке среды, - оператор пространственного дифференцирования. Коэффициент диффузии принят за скаляр, так как среда бака нейтрализации является изотропной.
Систему уравнений (1) можно разрешить только численно, при этом полученный результат будет неприменим для решения задачи синтеза автоматической системы. Поэтому следует максимально упростить постановку задачи (1) и сделать это таким образом, чтобы качественное поведение объекта, обусловленное распределённостью, сохранилось, и в то же время появилась возможность аналитического решения задачи, которое в дальнейшем будет использовано для параметрической идентификации объекта по результатам активного эксперимента.
Предполагая, что внутри бака нейтрализации в процессе рециркуляции формируется устойчивый контур движения жидкости, решено выделить два соприкасающихся объёма: подвижный (I) и неподвижный (II). Под подвижным объёмом понимается объём, в котором происходит движение потока, возникающего в процессе рециркуляции, под неподвижным - тот объём бака, который плохо перемешивается с рециркулирующим потоком. Задача рассматривается в двумерной декартовой системе координат. Взаимодействие двух объемов описывается граничными условиями четвертого рода [2].
Тогда поведение концентраций в объеме I будет описываться системой уравнений диффузии с движением:
(2)
(3)
, (4)
где - высота бака нейтрализации, - ширина зоны I с граничными условиями:
(5)
(6)
(7)
Поведение концентрации в объёме II будет описываться системой уравнений диффузии без движения:
(8)
(9)
, (10)
где - ширина зоны II с граничными условиями:
(11)
(12)
(13)
(14)
Начальные условия:
нейтрализация математический диффузия
, (15)
где - начальные условия концентраций щелочи и кислоты соответственно.
В уравнениях (2), (3), (5) - (7), (13) - (15) - концентрация щелочи, ? концентрация кислоты.
В уравнениях (8), (9), (11) - (15) - концентрация щелочи, - концентрация кислоты.
Присутствие слагаемого в (2), (3), (8), (9) указывает на наличие химической реакции [1].
Дальнейшими шагами в исследовании будет построение структурной схемы граничного управления в терминах структурной теории распределённых систем [3]. В результате будет получена распределенная система с сосредоточенным входом и выходом, которую можно использовать для численной идентификации параметров модели.
Библиографический список
1. Воробьев А.Х. Диффузионные задачи в химической кинетике: Учебное пособие. ? М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003. ? 98 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. ? М.: Высшая школа, 1967. ? 600 с.
3. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. ? М.: Наука, 1977. ? 320 с.