На тему: Поле комплексных чисел.
Введение
Коммплемксные[1] чимсла, -- расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y -- вещественные числа, i -- мнимая единица[2].
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле -- это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках -- электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
1. Определения
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z2 + 1.
1.1. Стандартная модель
Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
·
·
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица -- а мнимая единица -- На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть ? 1.
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.
1.2 Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице --
1.3 Замечания
Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x2 = ? 1, так как число ( ? i) также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
в то время как правильный ответ:
2. Действия над комплексными числами
· Сравнение
a + bi = c + di
означает, что
a = c и b = d
(два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
· Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
· Вычитание
(a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i.
· Умножение
· Деление
3. Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа
Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу
сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.
Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.
В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».
4. Связанные определения
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
Пусть
-- комплексное число, где и -- вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.
· Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.
· Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.
4.1 Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением
.
Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.
Для любых имеют место следующие свойства модуля. :
1) , причём тогда и только тогда, когда ;;
2) (неравенство треугольника);
3) ;
4) .
Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .
5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 ? z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .
· Из этого определения следует, что
; ; .
· Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kр, где k -- любое целое число.
· Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [3]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:
.
4.2 Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если комплексное число
z = x + iy, то число
называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
· (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
·
·
·
·
Обобщение:
,
где p(z) -- произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.
·
·
5. Представление комплексных чисел
5.1 Алгебраическая форма
Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = ? 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
5.2 Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль
r = | z | и аргумент (, ),
то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где -- расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
5.3 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)
Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
где r -- модуль, а -- аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).
6. История
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.
Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI--XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[4]
Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).
Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.
Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел -- кватернионы, алгебра которых некоммутативна.
7. Вариации и обобщения
· Гиперкомплексные числа
o Кватернионы
o Двойные числа
o Дуальные числа
o Алгебра Кэли (октавы)
· Алгебра Клиффорда
8. Функции комплексного переменного
· Гамма-функция
· Гиперболические функции
· Дзета-функция Римана
· Комплексный анализ
· Комплексный логарифм
· Показательная функция
· Степенная функция
· W-функция Ламберта
Примечания