Материал: Пифагоровы тройки их количество

Всё нормально, можно строить матрицы, и начнём с матрицы для z.

Таблица 3

Итого: Кроме единицы, каждое нечётное число числовой оси участвует в образовании пифагоровых троек равным количеству пар сомножителей образующих данное число N, включая сомножитель 1 х N.

Число N = ℓ2, где ℓ - ПЧ, образует одну пифагорову тройку, если ℓ - СЧ, то на сомножителях ℓхℓ тройки не существует. Построим матрицы для величин х, у.

Таблица 4

Таблица 5

Начнём работать с матрицей для х. Для этого натянем на неё координатную сетку из задачи по идентификации ПЧ и СЧ.

Таблица 6

Нумерация вертикальных рядов нормирована выражением .

Первый столбец уберём, т.к.

Матрица примет вид, -

Таблица 7

Опишем вертикальные ряды, -

Составим общую формулу для «х», -

Если провести подобную работу для «у», получим, -

Можно подойти к этому результату и с другой стороны.

Возьмём уравнение, - а2 + N = в2.

Чуть преобразуем, - N = в2 - а2.

Возведём в квадрат, - N2 = в4 - 2в2а2 + а4.

К левой и правой части уравнения добавим по величине 4в2а2, -

N2 + 4в2а2 = в4 + 2в2а2 + а4.

И окончательно, - (в2 + а2)2 = (2ва)2 + N2.

Пифагоровы тройки составляются так:

Рассмотрим пример с числом N = 117.

х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальные столбцы таблицы 2 пронумерованы величинами в - а, тогда как вертикальные столбцы таблицы 3 пронумерованы величинами х - у.

х - у = (в - а)2,

х = у + (в - а)2.

Составим три уравнения.

(у + 12)2 = у2 + 1172,

(у + 32)2 = у2 + 1172,

(у + 92)2 = у2 + 1172.

х1 = 6845, у1 = 6844, z1 = 117.

х2 = 765, у2 = 756, z2 = 117 (х2 = 85, у2 = 84, z2 = 13).

х3 = 125, у3 = 44, z3 = 117.

Сомножители 3 и 39 не являются взаимно простыми числами, поэтому одна тройка получилась с коэффициентом 9.

Изобразим выше написанное в общих символах, -

В данной работе всё, включая пример на расчёт пифагоровых троек с числом

N = 117, привязано к меньшему сомножителю в - а. Явная дискриминация по отношению к сомножителю в + а. Исправим эту несправедливость, - составим три уравнения с сомножителем в + а.

(у + 1172)2 = у2 + 1172

(у + 392)2 = у2 + 1172

(у + 132)2 = у2 + 1172

х1 = 6845, у1 = - 6844, z1 = 117.

х2 = 765, у2 = - 756, z2 = 117.

х3 = 125, у3 = - 44, z3 = 117.

Вернёмся к вопросу об идентификации ПЧ и СЧ.

Много что было совершено в этом направлении и на сегодняшний день через руки дошла следующая мысль, - уравнения идентификации, да такого чтобы и сомножители определить, не существует.

Допустим найдено соотношение F = а,в (N).

Есть формула

.

.

Можно избавиться в формуле F от в и получится однородное уравнение n - ой степени относительно а, т.е. F = а(N).

При любой степени n данного уравнения найдётся число N имеющее m пар сомножителей, при m > n.

И как следствие, однородное уравнение n степени должно иметь m корней.

Да быть такого не может.

В данной работе числа N рассматривались для уравнения х2 = у2 + z2, когда они находятся в уравнении на месте z. Когда N на месте х, - это уже другая задача.