Материал: Пеленгующие устройства и уравнения процесса пеленгации

Подставив (7) и (8) в равенство (6) и приняв во внимание (5), получим

. (9)

Если равенство (5) можно трактовать как геометрическое

условие, которое должно выполняться в процессе пеленгации, то выражение (9) определяет кинематические условия (связи), выполнение которых необходимо при пеленгации светила по линии. Если пеленгуется звезда, то в (9) можно полагать w = 0.

При этом

 = q x W. (10)

Представим выражение (10) в скалярной форме в осях трехгранника XYZ, жестко связанного с основанием (рис. 11). Записав векторы, входящие в выражение (10) в виде

q = i cos b cos a + j sin b + k cos b sin a;

W = iW_X + jW_Y + kW_Z,

определив локальную производную и раскрыв векторное произведение, получим совокупность скалярных выражений

acos b sin a + b sin b cos a = W_Y cos b sin a - W_Z sin b;

 b cos b = W_X cos b sin a - W_Z cos b cos a;

 cos b cos a - b sin b sin a = W_Y cos b cos a - W_X sin b,

которые сводятся к следующим двум:

a = W_Y - (W_Z sin a + W_X cos a) tg b;

 = W_X sin a - W_Z cos a.

Выражения (11) есть основные уравнения пеленгации, представленные в скалярной форме. Используя эти выражения, можно формулировать требования к быстродействию фотоследящих систем пеленгатора. Действительно, если задан вектор W, то (11) можно рассматривать как систему нелинейных дифференциальных уравнений, решая которую можно определить функции a(t) и b(t), а также  (t) и  (t) и оценить их экстремальные значения.

Следует обратить внимание на то, что правая часть первого уравнения в (11) при b = p/2 имеет точку разрыва. Этот математический результат отражает тот факт, что при совпадении ортов S, q и j слежение за светилом осуществить невозможно, так как в этом случае с телескопа нельзя получить информацию о наличии поворота основания вокруг оси j.

В частности, если основанием является платформа построителя вертикали, и, следовательно, орт j направлен в точку зенита, то при пеленгации светил, расположенных в окрестностях этой точки, требования к быстродействию фотоследящей системы, осуществляющей слежение по углу a, будут более жесткими.

Получим далее основное уравнение плоскостного пеленгатора. Для этого воспользуемся рис. 12, где оси XYZ с ортами i₁, j₁, k₁ жестко связаны с основанием; оси х; у; ж с ортами i, j, k жестко связаны с фотоголовкой пеленгатора; плоскость осей х, у есть пеленгующая плоскость.

Для того чтобы вектор S находился в пеленгующей плоскости, необходимо и достаточно выполнение равенства

k · S = 0. (12)

Дифференцируя (12), получаем

. (13)

Представляя производную от орта k в виде

Dk/dt = /dt + W x k, (14)

где W - по-прежнему абсолютная угловая скорость трехгранника i₁, j₁, k₁. Принимая во внимание (8), запишем выражение (13) так:

S × (/dt + W x k) = - k × (x S). (15)

Поскольку

k = - i₁ sin a + k ₁ cos a;

S = L₁ cos b cos a + j₁sin b + k ₁ cos b sin a;

W = i₁ W_x + _j1W_Y + k ₁W_z;

w = i₁ w_x + Jiw_Y + k ₁ w_z,

равенство (15) можно представить в виде

 = W_Y - w_Y - [(W_x - W_x) cos a + (W_z - w_z) sin a] tg b. (16)

Нелинейное дифференциальное уравнение (16) является основным уравнением плоскостного пеленгатора. Если пренебречь собственным движением вектора S, т.е. считать, что w = 0, то уравнение (16) примет вид

 = W_Y - (W_x sin a + W_z sin a) tg b. (17)

Правые части уравнений (16) и (17) имеют точку разрыва при b = p/2. Этот математический результат отражает тот факт, что при b = p/2 (что равносильно выполнению равенства S = j₁ плоскостной пеленгатор оказывается неработоспособным.

В том случае, когда основание пеленгатора располагается в плоскости горизонта и, следовательно, ось j₁ направлена по вертикали, имеют место равенства

b = h

W_x = (и + ) cos j cos y - j sin y;

W_Y =(u + ) sinj -  (18)

W_z = -  ф cos y - (u + ) cos j sin y,

где y - курс ЛА, отсчитываемый от направления на Север по часовой стрелке.

С учетом равенств (18) уравнение (17) примет вид

. (19)

Если полет летательного аппарата происходит по лаксодромии, то при этом курс постоянен y = y₀, и уравнение (19) запишется так:

 (20)

Если полет происходит так, что поддерживается постоянным курсовой угол светила б = б_к = б₀, то уравнение (19) принимает вид

. (21)

Воспользовавшись вторым уравнением (11) и приняв во внимание, что при горизонтированном основании b = h, представим его в виде

h = W_x sin (y + a₀) - W_z cos (y + a₀),

h = -sin (y + a₀) - (и + ) sin j cos ((y + a₀) · (22)

Полагая, что вектор путевой скорости U_n направлен по продольной оси самолета, совпадающей с осью X горизонтированного основания пеленгатора, можем записать

. (23)

Совокупность выражений (21)… (23) образует замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений, решение которой с начальными условиями y°, j°, l°, h° при заданном законе изменения скорости полета U_n позволяет определить, какой характер будут иметь траектория движения ЛА и изменение его курса, если полет происходит так, что курсовой угол пеленгуемого светила поддерживается постоянным.

Литература

1.      А.И. Перов. Основы построения спутниковых радионавигационных систем. - М.: Радиотехника, 2012. - 240 с.

.        Л.А. Шишкина. Морское дело. - М.: Гидрометеоиздат, 1978. - 192 с.

.        А.С. Карташкин. Авиационные радиосистемы. - М.: РадиоСофт, 2011. - 304 с.

.        А.С. Карташкин. Компьютерные информационные технологии в бортовой РЛС. - М.: РадиоСофт, 2011. - 216 с.

.        В.Ф. Баркан, В.К. Жданов. Усилительная и импульсная техника. - М.: Машиностроение, 1981. - 230 с.

.        Г.О. Фридлендер, В.П. Селезнев. Пилотажные манометрические приборы, компасы и автоштурманы. - М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1953. - 368 с.

.        И.А. Гончаров. Основы любительской GPS-навигации. - М.: Горячая Линия - Телеком, 2007. - 128 с.

.        Г.П. Астафьев, В.С. Шебшаевич, Ю.А. Юрков. Радиотехнические средства навигации летательных аппаратов. - М.: Советское радио, 1962. - 962 с.

.        М.М. Бирюкович, М.Я. Букшпун. Судовая радиолокационная станция «Нептун». - М.: Морской транспорт, 1957. - 204 с.

.        В.И. Шатров. Устройство и управление маломерным судном. - М.: ТрансЛит, 2006. - 128 с.