Материал: ОтчетЛР4 — копия
Национальный исследовательский университет
«Московский энергетический институт»
Кафедра математического моделирования
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННЫМИ МЕТОДАМИ
Группа: ТФ-13-15
Студент: Кокоев К.М.
Преподаватель: Казенкин К.О.
Задача:4.1, 4.2; вариант 28
Москва, 2016
Задача 4.1
Постановка задачи
Дана
система уравнений
.
Найти решение системы уравнений с
помощью встроенной процедуры lsolve.
Выполнить
5 итераций по методу простой итерации
и оценить погрешность полученного
решения. Затем найти решение системы
уравнений с точностью
,
k=5,
6 , ….K.
Построить график зависимости числа
итераций n
от величины K,
то есть график функции n=n(k)
,
k=5,6,…K.
Элементы
матрицы A
задаются формулами: 
,
параметр
задается формулой :
m=7
|| ||e
bi=3+qi
2. Теоретический материал
Метод Якоби (или простой итерации) относится к итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений
с
квадратной невырожденной матрицей A.
Напомним, что в матричной форме метод Якоби имеет вид
,
(i, j = 1, . . . , n, i
j),
(i = 1, . . . , n).
Условие ||B|| < 1 является достаточным условием сходимости метода Якоби. Наиболее просто проверяемое условие ||B||∞ < 1 имеет место в случае
наличия условия строчного диагонального преобладания в матрице A:
3. Порядок решения задачи
1. Составить программу, включающую в себя следующие части решения задачи:
-
задание матрицы системы
и вектора правой части
:
-
преобразование системы
к виду
,
удобному для итераций;
-вычисление нормы вектора, указанной в варианте
- выполнения заданного числа K итераций по методу простой итерации.
2. Вычислить решение системы с помощью встроенной процедуры lsolve.
3. Используя программу, выполнить 5 итераций по методу . Найти величину погрешности полученного приближения.
4.
Используя программу решения задачи,
вычислить решение системы с максимально
возможной точностью
Построить график зависимости числа
итераций от величины k
то есть график функции
n=n(k),
k=5,6,…Kmax.
Перебирая
разные k
я обнаружил, что максимальное k=5,
т.к. корни уравнения имеют максимальный
порядок
,
то при k
больше 5 разность между хT-точным
решением системы с помощью функции
lsolve
и x-решением
системы с помощью метода Зейделя
становится меньше
,
то есть становится меньше машинного
эпсилон и программа уходит в бесконечный
расчет. Таким образом для k:=1..5
зависимость количества итераций от
точности имеет вид
Решение системы при k=5:
4. Листинг программы
Задача 4.2
1. Постановка задачи
Для
системы уравнений
с симметричной положительно определенной
матрицей найти решение методом Зейделя
с точностью
,
взяв нулевое начальное приближение.
При программировании учесть разреженность
матрицы A.
2. Теоретический материал
Метод Зейделя относится к итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений
с квадратной невырожденной матрицей A.
Напомним, что в матричной форме метод Зейделя имеет вид
3. Порядок решения задачи
1. Составить расчетные формулы покоординатной формы записи итерационного метода для индивидуального варианта.
Построение тестового примера.
1.Пусть задана матрица A, у которой на главной диагонали элементы равны 200, на второй над диагонали 30, на 5-ой - 40
Матрица симметричная. Пусть размерность матрицы равна 10. Тогда система уравнений имеет следующий вид :
Выберем вектор решения
x произвольным
образом, например, так:
320
200
+30
+40
=
+ 200
+30
+40
=
+30
+200
+30
+40
=
+30
+ 200
+30
+40
=
+30
+200
+30
+40
=
40
+
+30
+200
+30
=
40
+30
+200
+30
=
40
+30
+200
+30
=
40
+30
+200
=
40
+30
+ 200
=
Преобразуем систему к виду удобному для итерации :
-0.15
-0.2
+
-0.15
-0.2
+
-0.15
-0.2
+
-0.15
-0.15
-0.2
+
-0.15
-0.15
-0.2
+
−0.2
+
-0.15
-0.15
+
-0.2
-0.15
-0.15
+
-0.2
-0.15
-0.15
+
-0.2
-0.15
+
-0.2
-0.15
+
В покоординатной форме записи метод Зейделя примет следующий вид:
