Контрольная работа: Осуществление сглаживания ряда динамики

На основании представленных данных рассчитать средние арифметические, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации переменных х и у; ковариацию и линейной коэффициент корреляции. Построить поле корреляции. Найти уравнение регрессии. Проверить значимость коэффициентов регрессии (б=5%). Рассчитать коэффициент детерминации. Сделать выводы.

Решение:

С экономической точки зрения именно прибыль зависит от всех прочих факторов. дисперсия вариация квадратический корреляция

Таблица 2.1 - Расчетная таблица

Средняя величина:

; ;

;

;

Дисперсия:

;

Среднее квадратичное отклонение:

;

Ковариация показателей:

Коэффициент корреляции:

.

Коэффициент детерминации:

R2 = 0,67972 = 0,462

Вывод: Так как коэффициент корреляции находится в интервале от 0,5 до 0,7, то можно сказать, что между вложениями в рекламу и прибылью существует прямая заметная связь.

Уравнение прямой Y = a + b•x

Система нормальных уравнений выглядит следующим образом:

, откуда ;

Зная коэффициент корреляции, можно определить параметры уравнения регрессии по формулам:

;

Тогда ;

а = 33,14 - 1,17 • 16,63 = 13,6792

Таким образом, факторная модель будет выглядеть:

Y = 13,6792 + 1,17х.

Подставляя исходные данные вложений в рекламу в уравнение регрессии, получим теоретические данные, которые приведены на рисунке 5.

Рисунок 5 - Зависимость прибыли от вложений в рекламу

Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t -критерия Стьюдента (при n 30):

Для параметра а:

Для параметра b:

Параметр модели признается статистически значимым, если tр tкр (определяется по таблице Стьюдента при соответствующем числе степеней свободы и уровня значимости, число степеней свободы = n - k, где к - число параметров в уравнении регрессии; n - число единиц в совокупности).

При числе степеней свободы v = 30 - 2 = 28, уровне значимости 5%, tкр = 2,048. Это значит, что ta > tкр и tb > tкр, т.е. 6,70 > 2,048 и 3,60 > 2,048. Следовательно, оба параметра статистически значимы.

Расчетная величина t-критерия

распределена по закону Стьюдента с (п - 2) степенями свободы.

В нашем случае, tрасч > tкр, т.е. 4,9 > 2,048, значит, линейный коэффициент корреляции, равный 0,6797, признается существенным и связь межу вложениями в рекламу и прибылью предприятия существует.

ОБЩИЙ ВЫВОД:

Средняя величина вложений в рекламу составляет 16,63 млн. руб. При этом средняя величина прибыли составляет 33,14 млн. руб. Среднее отклонение от средней величины вложений в рекламу составляет 6,2788 млн. руб., от суммы прибыли - 10,8081 млн. руб. Ковариация между факторами показывает направление связи. Можно сделать вывод, что между вложениями в рекламу и суммой прибыли существует прямая связь. Анализируя рисунок 5, приходим к выводу, что связь между показателями прямая, при этом слабая или заметная (точки на рисунке находятся примерно в одной области, кучно, что говорит о наличии слабой связи). Рассчитанный коэффициент корреляции подтверждает данный вывод. Он составляет 0,6797 - это свидетельствует о заметной (но не тесной) связи между показателями. Коэффициент детерминации, равный 0,462, говорит о том, что на сумму прибыли вложения в рекламу оказывают влияние всего на 46,2%, остальные 53,8% - это влияние прочих неучтенных факторов.

Уравнение регрессии имеет вид: Y = 13,679 + 1,17х.

Анализируя коэффициенты регрессии и линейный коэффициент корреляции пришли к выводу, что они статистически значимы на уровне 95%. Т.к. значимы коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции, то, следовательно, значимо и само уравнение регрессии. Следовательно, данное уравнение можно использовать для прогнозирования.

Задача 3

Имеются следующие данные об уровне механизации работ X(%) и производительности труда Y (т/ч) для однотипных предприятий (табл.):

Необходимо:

а) оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции;

б) найти уравнение регрессии Y по X

в) оценить среднюю производительность труда на предприятиях с уровнем механизации работ 60% и построить для нее 95%-ный доверительный интервал;

г) аналогичный доверительный интервал найти для индивидуальных значений производительности труда на тех же предприятиях.

Решение:

а) Составим корреляционное поле и сделаем предположение о тесноте и направлении связи.

Рисунок 3.1

Данные идут из нижнего левого угла в верхний правый угол, следовательно, связь между показателями прямая.

Рассчитаем необходимые данные в таблице.

Таблица 3.1 - Расчетная таблица

Дисперсия:

;

Среднее квадратичное отклонение:

;

Ковариация показателей:

Коэффициент корреляции:

.

Коэффициент детерминации:

R2 = 0,93542 = 0,875

Так как коэффициент корреляции находится в интервале от 0,8 до 1,0, то можно сказать, что между механизацией работ и производительностью труда существует прямая тесная связь.

б) Уравнение прямой Y = a + b•x

Определим параметры уравнения регрессии:

;

Тогда ; а = 7,00 - 1 • 8,5 = - 1,5

Таким образом, факторная модель будет выглядеть: Y =х - 1,5

в) Подставляем х = 60 в уравнение:

Y (х = 60) = 60 - 1,5 = 58,5 (т/ч)

Остаточная дисперсия:

;

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза:

?Y = tтабл • mY = 1,45 • 7,97 = 19,50

Доверительный интервал прогноза:

т/ч.; т/ч

г) для нахождения доверительного интервала по индивидуальным значениям составим таблицу/

Таблица 3.2 - Доверительный интервал

Изобразим данные на рисунке 3.2.

Имеются следующие данные о выработке литья на одного работающего Х1(T), браке литья Х2 (%) и себестоимости 1 т литья Y (руб.) по литейным цехам заводов (табл.):

Необходимо:

а) найти уравнение множественной регрессии Y по X1 и X2,

б) оценить значимость этого уравнения и его коэффициентов на уровне б = 0,05;

Рисунок 3.2

Задача 4

в) сравнить раздельное влияние на зависимую переменную каждой из объясняющих переменных, используя стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности;

г) найти 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов множественной регрессии, а также для среднего и индивидуальных значений себестоимости 1 т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья - 5%.

Таблица 4.1 Расчетная таблица