Материал: Основи математичної статистики
Основи математичної статистики
1. Задано вибiрку, яка характеризує мiсячний прибуток пiдприємцiв (в тис. грн.)
· Скласти варiацiйний ряд та статистичний розподiл вибiрки, побудувати полiгон частот.
· Скласти iнтервальний статистичний розподiл вибiрки, розбивши промiжок (x min, x max) на 5 рiвних промiжкiв, та побудувати гiстограму частот.
· Обчислити вибiрковi характеристики: вибiркове середне, вибiркову дисперсiю, вибiркове середне квадратичне вiдхилення, моду та медiану, якщо вибiрка має такий вигляд:
,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35
Розв'язок
Запишемо елементи вибірки в порядку зростання, таким чином отримаємо варіаційний ряд:
37,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35.
У вибірці маємо 12 різних значень, тобто варіант:
,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41.
Знайдемо їх частоти:
.
Запишемо шуканий
статистичний розподіл вибірки:
хi
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
ni
1
1
2
2
3
3
1
2
1
1
2
1
Для того щоб побудувати
полігон частот, відкладемо на осі абсцисс значення варіант xi,
а на осі ординат - значення відповідних їм частот ni і
послідовно з’єднаємо між собою точки xi, ni
відрізками.
Складемо
інтервальний статистичний розподіл вибірки. Для цього розіб’ємо інтервал [30; 41] на 5 рівних проміжків довжиною Інтервал
[30; 32,2]
(32,2; 34,4)
(34,4; 36,6)
(36,6; 38,8)
(38,8; 41)
Частота
4
5
4
3
4
Для побудови гістограми
обчислимо щільності частоти:
Побудуємо
гістограму частот.
Обчислимо вибіркові
середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та медіану.
Вибіркове середнє:
Середній квадрат
відхилення значень елементів вибірки від вибіркового середнього називається
вибірковою дисперсією. Вибіркова дисперсія дорівнює різниці середнього
квадрата елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:
Середнє
квадратичне відхилення знаходимо як квадратний корінь з вибіркової дисперсії:
Медіаною Me
називається значення середнього елемента варіаційного ряду. Якщо обсяг вибірки n=
2m парний (як, в нашому випадку), то медіаною буде середнє значення
елементів варіаційного ряду з номерами m і m +1:
Модою (Mo)
називається варіанта з найбільшою частотою:
статистичний
вибірка дисперсія інтервал хi
3
5
7
9
11
13
15
17
19
ni
7
15
28
45
78
50
30
17
8
Розв'язок
Обсяг вибірки: n =
7+15+28+45+78+50+30+17+8=278.
Для побудови
довірчих інтервалів обчислимо вибіркове середнє Оскільки середнє
квадратичне генеральної сукупності невідоме, то визначаємо довірчий інтервал
для математичного сподівання. Знайдемо виправлене вибіркове середнє квадратичне
відхилення:
Довірчий інтервал
з надійністю γ
для математичного сподівання a нормально розподіленої генеральної сукупності
при відомому середньому квадратичному відхиленні Величину t
знайдемо за таблицею значень функції Розраховуємо довірчий
інтервал:
Отже, інтервал
(10,45; 11,83) покриває параметр a з надійністю γ
= 0,95.
Визначимо тепер
довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ генеральної сукупності.
Величина Оскільки Отже, інтервал
(3,02; 4,00) покриває параметр σ
з надійністю γ = 0 95.
3.
За даними вибiрки, використовуючи критерiй Пiрсона при рiвнi значущостi α=0,05, перевiрити, чи
справджується статистична гiпотеза про нормальний розподiл генеральноi сукупностi
X:
хi
9
11
13
15
17
19
21
23
25
ni
5
9
11
14
18
15
12
10
6
Розв'язок
Визначимо обсяг вибірки:
n = 5+9+11+14+18+15+12+10+6=100.
Обчислимо вибіркове
середнє:
Визначимо
вибіркове середнє квадратичне відхилення:
Визначимо
теоретичні частоти. З цією метою використаємо формулу:
де n -
обсяг вибірки; h - крок (різниця між двома сусідніми варіантами); Враховуючи, що
різниця між двома сусідніми варіантами h = 2, а обсяг вибірки n =
100, визначимо теоретичні частоти. Для цього складемо розрахункову таблицю
(значення диференціальної функції Лапласа і
хі
nі
ui
1
9
5
-1,90
0,0551
2,12
2
11
9
-1,43
0,1435
5,38
3
13
11
-0,97
0,2966
10,42
4
15
14
-0,51
0,3503
15,69
5
17
18
-0,05
0,3984
18,43
6
19
15
0,42
0,3653
16,76
7
21
12
0,88
0,2709
11,87
8
23
10
1,34
0,1626
6,55
9
25
6
1,80
0,0790
2,76
Знайдемо спостережуване
значення критерію Пірсона за формулою:
За таблицею
критичних точок розподілу χ2 при заданому рівні значущості α = 0 05, і кількості ступенів
вільності k =s - 3 = 9 - 3 = 6 (s - кількість варіант вибірки) знайдемо
критичну точку Оскільки
.
.
.
і вибіркове середнє квадратичне відхилення 
за формулами:
має вигляд:
, де 
-
точність оцінки.
. При значеннях γ =0,95 і n = 100 
=
1,98.
є
табличним значенням. При γ =0,95 і n =100 
=0,14.
<
1, то довірчий інтервал нормально розподіленої генеральної сукупності
визначається наступним чином:
,
-
диференціальна функція Лапласа:
.
представляють собою
табличні величини):
правосторонньої критичної області:
.
<
,
то немає підстав відхиляти статистичну гіпотезу про нормальний розподіл
генеральної сукупності: емпіричні і теоретичні частоти різняться несуттєво
(випадково).