Материал: Осесимметричный изгиб цилиндр оболочек. Лекция
Спроектируем все силы на направлении нормали Oz
pdxdy+ Qdy − (Q + dQ)dy − 2Nydxsin(d 2)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
dQ |
|
N y |
|
||
Учитывая, что sin( d 2) = d |
2 = dy 2R → |
|
+ |
= p |
||
|
|
|
||||
|
dx |
R |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Третьим уравнением равновесия будет равенство нулю моментов всех сил, действующих на элемент, относительно правого края кк
M xdy − (M x + dM x )dy + Qdxdy + pdxdy dx 2 − |
|||
− 2N y dx dx 2 sin (dx 2)= 0 |
|
|
|
Пренебрегая слагаемыми 2-го и более |
|
dМ x = Q |
|
высокого порядка малости получим |
|
dx |
|
|
|
||
|
|
|
|
Уравнение равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях, его интегрирование.
d 2M x |
= |
|
dQ |
= − |
N y |
|
+ p ; |
|
d 2M x |
+ |
N y |
= p ; |
|||||||||||||||||
dx2 |
|
dx |
R |
|
|
|
dx2 |
|
|
R |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
d |
2 |
|
|
d 2w |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Eh |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
Nx + |
|
|
|
w |
= p |
|
|||||||||
|
|
dx2 |
dx2 |
|
|
R |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 4w |
|
|
|
Eh |
|
|
|
|
Nx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
w = p − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx4 |
|
|
|
R2 |
|
R |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка относительно нормального прогиба оболочки w(x) складывается из общего решения однородного уравнения
|
w0 (x) и частного решения w (x) неоднородного уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w(x) = e−kx (C cos kx+ C sin kx) |
+ ekx (C cos kx+ C sin kx)+ w , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
где |
w (x) = |
|
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
|
— частное решение, зависит от |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
внешних нагрузок, действующих на оболочку |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(1− 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k = 4 |
|
Eh |
|
= |
4 |
|
|
— волновое число |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4DR2 |
|
R2h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
С1 С4 — постоянные интегрирования, определяемые из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
граничных условий на краях оболочки. На каждом краю |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
оболочки при x = 0 и при x = l |
формулируют по два краевых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Жестко-закрепленный край |
|
|
|
Шарнирно-опертый край |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
y |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2w |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M x = D |
= 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободный край |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нагруженный край |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x = D |
d 2w |
= 0 |
|
|
m |
|
|
|
M x = D |
d 2w |
= m |
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
||||||||||||||||||||
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = D |
d 3w |
= 0 |
|
|
m |
|
|
|
Q = D |
|
|
d 3w |
= q |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||
Краевой эффект в круговых цилиндрических оболочках.
Общее решение для нормального прогиба оболочки содержит слагаемые, описывающие изгибные деформации оболочки
( е(•) ,sin( ), cos( ) ) и безмоментные деформации оболочки (частное решение).
Местный изгиб оболочки, возникающий в результате закрепления ее краев, резкого изменения размеров и формы оболочки, а также в местах приложения сосредоточенных нагрузок, называется краевым эффектом.
Для тонкостенных оболочек, у которых h
R 1 в связи с
быстрым изменением функции e kx слагаемые, соответствующие изгибным деформациям дают существенный вклад в решение для w(x) только в зоне краевого эффекта, протяженность которой оценивается величиной = 
k , называемой длиной полуволны краевого
эффекта.
Длина полуволны краевого эффекта для металлических оболочек, имеющих коэффициент Пуассона 0,3 равна
|
|
R2h2 |
|
|
|
= k = |
4 |
2,5 Rh |
|||
3(1− 2 ) |
|||||
|
|
|
|
||
При изменении продольной координаты x от 0 до λ функция
е−kx уменьшается в е 23 раза. Таким образом, если длина цилиндрической оболочки удовлетворяет условию l>2λ, то оболочку вблизи края x=0 можно рассматривать как полубесконечную, а в решении для w(x) из условия ограниченности решения при x → положить С3=С4=0.
Решение, основанное на концепции краевого эффекта вблизи края x=0 для 0<x≤λ имеет вид
w(x) = e−kx (C cos kx + C |
2 |
sin kx) + w |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
dw |
dw |
−kx |
|
|
|
|
||
= |
|
|
= |
|
− ke |
((C1 − C2 ) cos kx + (C1 |
+ C2 ) sin kx) |
||
dx |
|
||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
d 2w |
d 2w |
|
||
M x = D |
|
= D |
|
+ 2k 2e−kx (C1 sin kx − C2 cos kx) |
|
dx2 |
dx2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
d 3w |
d 3w |
+ 2k 3e−kx ((C1 + C2 ) cos kx − (C1 |
|
|||||
Q = D |
|
= D |
|
|
− C2 ) sin kx) |
||||
dx3 |
dx3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2 |
d 2w |
|
|
||
|
|
M y = |
|
y zdz = D |
= M x |
|
|||
|
|
dx2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
−h 2 |
|
|
|
||
Постоянные интегрирования С1, С2 определяются из граничных условий, сформулированных на краю x=0.