Материал: Осесимметричный изгиб цилиндр оболочек. Лекция
3.ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку толщиной h, радиусом срединной поверхности R, нагруженную нормальным давлением p и растягивающими продольными усилиями Nx.
p |
Nx |
|
|
Nx |
|
Положение точек оболочки на срединной поверхности будем определять координатой x вдоль образующей и криволинейной координатой y = R в окружном
направлении. Координата z направлена по нормали к срединной поверхности.
При осесимметричном нагружении оболочки и закреплении краев все внутренние силовые факторы зависят только от координаты x. Задача определения напряженнодеформированного состояния является одномерной.
Нормальные перемещения в цилиндрических оболочках.
|
|
|
|
|
|
w — перемещение |
|
|
|
|
|
|
точек срединной |
|
|
|
|
|
|
поверхности оболочки |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
dφ |
по нормали — вдоль |
||||
|
|
|||||
|
|
оси Oz (нормальный |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогиб) |
|
|
|
|
|
|
u — перемещение точек |
|
|
|
|
|
|
срединной поверхности |
|
|
R |
|
|
оболочки в продольном |
|
|
|
|
|
|
|
направлении — вдоль |
O |
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
1 |
оси Ox. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= dwdx
— угол поворота поперечного сечения оболочки.
Относительная продольная деформация произвольного волокна, отстоящего на расстоянии z от срединной поверхности оболочки
x = |
du − zd |
= |
du |
− z |
d |
= |
|||||
|
|
|
dx |
dx |
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
= |
du |
− z |
|
d 2w |
|
= 0 − z |
d 2w |
|
|||
dx |
|
dx2 |
dx2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь du — удлинение элемента оболочки dx;
dφ — угол поворота правого поперечного сечения элемента;
0 = dudx — относительная продольная деформация срединной поверхности оболочки.
w
R 
dθ
x = |
E |
|
|
|
x + y = |
|
(1 − |
2 |
) |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
y = |
E |
|
|
|
y + x = |
|
(1 − |
2 |
) |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
Относительная деформация в |
||||
окружном направлении |
||||
y = = |
(R + w)d − Rd |
= |
w |
|
Rd |
R |
|||
|
|
|||
Нормальные напряжения в поперечном сечении оболочки на расстоянии z от срединной поверхности оболочки определяем согласно закону Гука.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
d w |
|
w |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− z |
|
|
+ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
(1 − |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
R |
|||||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2w |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
0 |
− z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(1 − 2 ) R |
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Внутренние силовые факторы при осесимметричной деформации оболочки.
Продольное усилие
|
h 2 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
h 2 |
|
|
|
d |
2 |
w |
|
|
w |
|
|
N x = |
xdz = |
|
|
|
|
|
|
0 |
− z |
|
|
+ |
dz = |
|||||||||
(1 − |
2 |
) |
|
dx |
2 |
|
R |
|||||||||||||||
|
−h 2 |
|
|
|
−h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Eh |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
) |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Окружное усилие
|
|
h 2 |
|
|
E |
|
|
h 2 |
w |
|
|
|
d 2 w |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N y = |
y dz = |
|
2 |
) |
|
|
+ |
0 |
− z |
dx |
2 |
dz = |
||||||||
|
|
−h 2 |
|
(1 − |
|
−h 2 |
R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
Eh |
|
|
w |
+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 |
|
) R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исключая 0 в соотношениях для Nx, Ny получим
N y = Nx + EhR w(x)
Изгибающий момент в продольном направлении
|
|
h 2 |
|
|
|
Eh3 |
|
|
d 2w |
|
d 2w |
|
|
M x = |
|
x |
zdz = |
|
|
= D |
|||||||
12(1− 2 ) dx2 |
dx2 |
||||||||||||
|
|
−h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Изгибающий момент в окружном направлении |
|||||||||||||
|
|
|
h 2 |
|
|
d |
2w |
|
|
|
|
||
|
M y = |
|
y zdz = D |
= M x |
|||||||||
|
dx2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−h 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь D = |
Eh3 |
|
— цилиндрическая жесткость оболочки |
||||||||||
12(1− 2 ) |
|||||||||||||
при ее изгибе
Уравнения равновесия для элемента цилиндрической оболочки в усилиях.
Mxdy
Рассмотрим равновесие элемента оболочки размерами dx, dy = Rd , нагруженного нормальным давлением p,
безмоментными погонными продольными Nx и окружными Ny усилиями и погонными изгибающими моментами Mx — в направлении оси x (продольный изгибающий момент), и My
— в направлении оси y (окружной изгибающий момент). Все внутренние силовые факторы являются погонными, т.е.
отнесенными к единице длины.
Спроектируем все силы на ось Ox
−Nxdy + (Nx + dNx )dy = 0 → |
dN |
x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|