Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПЕРЕВОЗОК УЗЛОВОГО АЭРОПОРТА НА БАЗЕ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА
В.А. Романенко
Узловой аэропорт - это аэропорт, обслуживающий значительное число трансферных пассажиров, расписание которого строится по волновому принципу: массовые прибытия рейсов сменяются их массовыми отправлениями, между «волнами» прибытий-отправлений следуют паузы с малым числом рейсов. Волновой характер расписания ограничивает возможности применения для расчета и оптимизации параметров узлового аэропорта простых аналитических моделей теории массового обслуживания, предполагающих принадлежность потока рейсов к простейшим. Для того чтобы поток требований, входящий в систему массового обслуживания (СМО), считался простейшим, он должен удовлетворять требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последействия. В [1] показано, что поток рейсов узлового аэропорта отвечает только двум последним требованиям, т. е. является нестационарным пуассоновским. С учетом существенной нестационарности потока для анализа и оптимизации параметров узлового аэропорта здесь использован подход, основанный на численном интегрировании системы дифференциальных уравнений Колмогорова, описывающей состояния отдельных подсистем узлового аэропорта как СМО.
В статье решены задачи выбора оптимального метода обслуживания и определения оптимальной численности обслуживающих аппаратов в ответственных за выполнение отдельных технологических операций подсистемах узлового аэропорта, рассматриваемых в качестве СМО с ожиданием. Использование описанной методики может позволить службам узлового аэропорта эффективно маневрировать своими ресурсами, перераспределяя их между отправляемыми и прибывающими рейсами.
Общая постановка оптимизационной задачи. На некотором временном интервале определить зависимость от времени оптимального числа однотипных обслуживающих аппаратов в полнодоступной СМО с ожиданием, в которую поступает нестационарный пуассоновский поток требований с мгновенной интенсивностью . Время обслуживания требования - показательно распределенная случайная величина. Под оптимальным понимается минимальное число обслуживающих аппаратов, обеспечивающее ожидание требованием обслуживания в очереди заданной продолжительности с заданной надежностью .
Протяженность интервала определена с учетом следующих соображений. Система волн узлового аэропорта имеет жесткую структуру, которая воспроизводится за определенный временной интервал в течение периода действия расписания. Эта структура описывается такими параметрами, как число волн, интервалы между волнами, интенсивность движения рейсов в течение волны. Поскольку период повторения системы волн составляет, как правило, одни сутки, то принято сут.
Математическая модель оптимизации. Вероятности состояний рассматриваемой СМО описываются уравнениями Колмогорова [2]:
где - интенсивность обслуживания; m - предельная длина очереди из требований, ограниченная исходя из условия, что n+m - наибольшая численность всех требований, которые могут поступить на обслуживание в данный период.
Начальные условия для интегрирования системы (1) при :
.
Поскольку найти аналитическое решение системы (1) с начальными условиями (2) в явном виде при большом n+m практически невозможно, исследование поведения этой системы проводится здесь с использованием ЭВМ путем численного решения (1) с учетом (2) методом Рунге - Кутта четвертого порядка.
Искомое в момент t должно быть таким, чтобы выполнялось условие
,
где - виртуальное фактическое время ожидания в очереди в момент t; - вероятность того, что виртуальное фактическое время ожидания в очереди не превысит заданное расчетное время ожидания .
Обозначив через функцию распределения виртуального фактического времени ожидания , запишем [2]
,
где - вероятность потери требования; - функция распределения Эрланга с параметрами и i+1, вычисляемая по формуле
.
Считая предельную длину очереди m большой и, следовательно, принимая , формулу (4) приведем к более простому виду
.
Таким образом, расчет потребного в момент t числа аппаратов обслуживания проводится на каждом шаге реализации процедуры численного интегрирования системы (1), (2) в соответствии со следующим итерационным алгоритмом. Для принятого в качестве начального приближения (где - наибольшее целое число < х) по формулам (5) и (6) находится величина . Выполняется проверка условия (3). Если оно выполняется, то принятая величина п и является искомым оптимальным количеством средств обслуживания. В случае невыполнения условия (3) величина п увеличивается на единицу и расчет повторяется до тех пор, пока (3) не будет выполнено.
Для найденного определяются зависимости от времени средней длины очереди и среднего числа свободных от обслуживания приборов .
Эффективность использования задействованных в обслуживании аппаратов выражает коэффициент занятости .
Модель потоков требований. Для моделирования различных технологических операций и схем аэропортового обслуживания в качестве потока требований, поступающего в рассматриваемую СМО, может выступать поток прибывающих рейсов, поток отправляющихся рейсов, поток пассажиров и другие виды потоков.
В общем виде выражение для мгновенной интенсивности нестационарного потока записывается как
,
где - число требований, прибывших в систему к моменту времени t.
Для компьютерных вычислений выражение (7) приводится к приближенной дискретной форме, для чего интервал разбивается на k промежутков равной величины . Мгновенная интенсивность в момент времени ( - правая граница i-того интервала) определяется по формуле
,
дискретизации.
Если в роли требований выступают прибывающие или отправляющиеся рейсы, то величины определяются по расписанию движения ВС или статистическим данным аэропорта. Если требования - вылетающие пассажиры, то помимо указанных данных для определения интенсивности их потока необходимо также наличие вероятностного распределения времени нахождения пассажиров в аэропорту , описываемого функцией или плотностью .
При наличии расписания и числа пассажиров каждого рейса мгновенная интенсивность потока пассажиров, поступающих в аэропорт в момент t, определяется как
,
где - число вылетающих рейсов, пассажиры которых прибывают в аэропорт в момент t, - интенсивность потока пассажиров j-того рейса, прибывающих в аэропорт в момент t.
,
где - число пассажиров j-того рейса, прибывших в аэропорт к моменту времени t; - число пассажиров, взявших билет на j-тый рейс; - вероятность того, что время прибытия пассажира j-того рейса в аэропорт , отмеряемое от начала интервала , не превысит t. Поскольку по определению равняется - функции распределения времени прибытия пассажира j-того рейса в аэропорт, то формула для преобразуется к виду
.
Подставляя (11) в (10) и учитывая, что по определению плотность распределения времени прибытия пассажира j-того рейса в аэропорт связана с функцией соотношением , получим
.
Неудобство использования в формуле (12) функции , связанное с ее зависимостью от времени отправления j-того рейса, отчасти снимается, если вместо нее использовать введенную ранее . Предполагая, что не зависит от определенного рейса, и учитывая, что параметр связан с натуральным временем t соотношением , где - время вылета j-того рейса, получим формулу, пригодную для компьютерных вычислений:
.
Подставляя (13) в (9), окончательно для суммарного пассажиропотока получаем. уравнение колмогоров обслуживание перевозка
.
Модельный пример. В качестве объекта оптимизации выбран пассажирский комплекс аэропорта г. Рига (Латвия), работающего в течение последнего ряда лет по узловой схеме. Определяется оптимальная численность мест обслуживания на этапах высадки из ВС и доставки в аэровокзал прилетевших пассажиров, регистрации вылетающих пассажиров, а также их доставки и посадки в ВС. Предполагается, что эти операции выполняются при участии персонала службы организации перевозок аэропорта, поэтому имеется возможность его перераспределения между рассматриваемыми операциями. Сравниваются две технологические схемы выполнения регистрации: порейсовая и свободная.
На этапе высадки роль входящего требования играет прибывающий рейс; на этапах регистрации по порейсовому методу и посадки - отправляющийся рейс; на этапе регистрации по свободному методу - вылетающий пассажир.
Расчет интенсивности потоков рейсов произведен с использованием данных летнего расписания 2011 г. Предварительно определены временные зависимости мгновенной интенсивности потока рейсов для каждых суток недельного периода, позволившие выявить волновую структуру расписания, включающую две основные и две дополнительные волны прилетов-вылетов ежедневно. Установлена близость суточных профилей интенсивности, что позволило решать задачу оптимизации не для каждого дня недели, а для некоторых эталонных суток, сократив объем расчетов. Графики мгновенных интенсивностей прибытий и отправлений рейсов в зависимости от времени эталонных суток, определенные усреднением по дням недели, представлены на рис. 1, а.
Мгновенная интенсивность потока вылетающих пассажиров рассчитана с использованием расписания, данных по пассажировместимости ВС и занятости мест, принятой в соответствии с опубликованной статистикой аэропорта [3] равной 75 %.
Данные по времени нахождения вылетающих пассажиров в аэропорту приведены в [4]. Пассажиры прибывают в аэропорт в интервале 120-20 мин до времени отправления рейса. Наибольшая интенсивность пассажиропотока достигается около 70 мин до времени отправления. Распределение времени нахождения пассажиров в аэропорту удовлетворительно сглаживается нормальным распределением с математическим ожиданием мин и стандартным отклонением мин.
Полученный график временной зависимости мгновенной интенсивности потока вылетающих пассажиров для эталонных суток представлен на рис. 1, б. Как и в случае с потоком рейсов, расчет произведен для каждых суток рассматриваемой недели с последующим усреднением.
Рис. 1. Интенсивность потоков в узловом аэропорту:
а - прибывающих и отправляющихся рейсов; б - вылетающих пассажиров
В соответствии с данными аэропорта время регистрации одного пассажира считается распределенным экспоненциально и составляет в среднем 0,78 мин.
Средние длительности операций по обслуживанию пассажиров одного рейса приняты следующими: регистрация по порейсовому методу - 50 мин; доставка и посадка - 15 мин; высадка и доставка - 8 мин. Порейсовая регистрация начинается за 90 мин до времени отправления рейса; доставка и посадка - непосредственно после регистрации; высадка и доставка - через 5 мин после прибытия рейса. Продолжительности рассматриваемых операций считаются экспоненциально распределенными случайными величинами. Предполагается, что для порейсовой регистрации пассажиров любого рейса используется одно место.
Расчетное время ожидания обслуживания как пассажиром в случае регистрации по свободному методу, так и рейсом во всех остальных случаях задано равным . Значение вероятности принято для всех случаев равным 0.95.
Основные результаты численного интегрирования уравнений Колмогорова для эталонных суток представлены на рис. 2.
Рис. 2. Результаты моделирования для эталонных суток:
а - число мест регистрации; б - распределение времени использования различного числа мест регистрации; в - коэффициент занятости мест регистрации; г - оптимальное число мест для различных операций наземного обслуживания
На рис. 2, а приведены временные зависимости оптимального числа мест регистрации по порейсовому и свободному методам для эталонных суток.
На рис. 2, б представлены полигоны распределения времени использования оптимального числа мест регистрации. По оси абсцисс отложено число мест обслуживания, вероятность использования которого возникает в течение эталонных суток; по оси ординат - доля от общей продолжительности эталонных суток, в течение которой данное число мест является оптимальным.
На рис. 2, в отображены временные зависимости коэффициента занятости оптимального числа мест обслуживания для обоих методов регистрации.
На рис. 2, г воспроизведены зависимости оптимального числа рабочих мест по выполнению операций высадки и посадки пассажиров, а также суммарного оптимального числа рабочих мест по выполнению указанных операций плюс регистрации по свободному методу. Суммарное число определено в предположении о возможности маневрирования персоналом службы аэропорта путем перераспределения исполнителей между тремя рассматриваемыми операциями.