Лабораторная работа: Определение параметров физического маятника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Авторы описания: проф. М.Я. Юшина и ст. преп. Б.Л. Афанасьев

ВВЕДЕНИЕ

Среди механических движений важную роль играет колебательное движение, характеризующееся определённой периодичностью. Физическое описание колебаний реального тела - чрезвычайно сложная задача. Поэтому теория колебаний оперирует с моделями: пружинным, математическим, физическим, крутильным маятниками. В основе всех этих моделей лежит представление о линейном гармоническом осцилляторе.

В классической механике линейный гармонический осциллятор - это материальная точка или абсолютно твёрдое тело, совершающее одномерные гармонические колебания под действием упругой (или квазиупругой) силы.

В настоящей лабораторной работе изучаются колебания математического и физического маятников и определяются параметры последнего.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена точечная масса, помещенная в поле сил тяжести. Достаточно хорошим приближением служит небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия определяется угловым смещением , образованным нитью с вертикалью (рис.1). При этом возникает момент силы тяжести M относительно оси, проходящей через точку C, равный M = m g l sin ( m - масса маятника, l - его длина).

Вектор момента силы имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия и при малых отклонениях, когда , аналогичен квазиупругой силе. На рис. 1 он направлен от нас, перпендикулярно плоскости чертежа. Применим к математическому маятнику основное уравнение динамики вращательного движения

,

где J - момент инерции маятника относительно упомянутой выше оси; - угловое ускорение; - сумма моментов внешних сил. В проекции на ось вращения

(1)

Рис.1

При малых углах и тогда получаем дифференциальное уравнение

, (2)

решением которого являются гармонические колебания

,

с круговой частотой и периодом соответственно

, (3)

которые зависят только от длины маятника и ускорения свободного падения g.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания в поле сил тяжести вокруг некоторой горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. В положении равновесия центр масс O находится под точкой подвеса C на одной вертикали на расстоянии a (см. рис. 2). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы тяжести, стремящийся вернуть его обратно.

Так же, как и для математического маятника,

(4)

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку C. При малых колебаниях уравнение (4) переходит в

(5)

решением которого является но теперь с круговой частотой

и периодом . (6)

Рис.2

При сравнении формул (3) и (6) видно, что математический маятник с длиной

(7)

будет иметь такой же период, как и физический. Величина называется приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, который имеет одинаковый с данным физическим период колебаний.

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка (рис.3) состоит из вертикальной стойки 1, основания 2 и элементов подвеса математического и физического 3 маятников, состоящих из горизонтальной стальной калёной призмы 4 и зажима 5. В качестве математического маятника применён стальной шарик 6 небольшого диаметра, подвешенный на нити в точке на линии продолжения ребра призмы, на которое опирается физический маятник. Изменять длину нити можно, наматывая её часть на детали зажима.

Рис.3

ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ

Несмотря на кажущуюся простоту лабораторной работы, её выполнение следует проводить под руководством преподавателя. Не допускать падения тяжёлого физического маятника.

ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ

Внести данные измерительных приборов в табл. 1.

Туда же внести значения массы физического маятника m.

Таблица 1

Используя математический маятник как отвес, проверить центровку установки по острию 7. Если она нарушена, восстановить её с помощью установочных винтов под платформой.

Подвесить физический маятник так, чтобы круглый вырез на его конце оказался внизу. В этом случае расстояние между точкой подвеса и центром масс а1 = (0,379 ± 0,001) м.

Вывести оба маятника из положения равновесия, одновременно отклонив их на одинаковый малый угол. Изменяя длину нити математического маятника, добиться синхронного качания обоих маятников.

Настройку маятников на синхронное качание провести 5 раз, измеряя при этом линейкой приведенную длину физического маятника, состоящую из длины нити l0 и половины диаметра шарика D/2. Данные поместить в табл. 2.

Таблица 2

физический математический маятник колебание

Подвесить физический маятник так, чтобы круглый вырез на его конце оказался вверху. В этом случае расстояние между точкой подвеса и центром масс а2 = (0,281 ± 0,001) м.

Далее проделать измерения по пункту 5.5.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В табл. 2 рассчитать по представленным формулам приведённые длины с погрешностями Далее в формулах приняты обозначения

Исходя из формулы (7), рассчитать моменты инерции:

Найти абсолютные погрешности:

Представить окончательные результаты расчета в виде:

КОМПЛЕКТЫ ВОПРОСОВ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

I КОМПЛЕКТ

1. Дайте определение квазиупругой силы.

2. Рассчитайте приведенную длину lпр тонкого стержня длины L. Ось проходит через конец стержня перпендикулярно к нему.

3. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.

II КОМПЛЕКТ

1. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний математического маятника.

2. Что называется приведённой длиной физического маятника?

3. Дайте определение фазы гармонического колебания.

III КОМПЛЕКТ

1. Приведите параметры гармонических колебаний. Чем они определяются?

2. Что представляет собой физический маятник?

3. Покажите линейную зависимость углового ускорения от углового смещения при гармонических колебаниях маятников.

IV КОМПЛЕКТ

1. Опишите модель математического маятника.

2. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника.

3. Используя теорему Штейнера, рассчитайте из найденных значений J1 и J2 момент инерции маятника J0 относительно оси, проходящей через центр масс маятника. Сравните полученные результаты.

V КОМПЛЕКТ

1. Запишите решение дифференциального уравнения гармонических колебаний.

2. Запишите формулы для определения периодов колебаний математического и физического маятников.

3. Дайте определение момента инерции твердого тела.

VI КОМПЛЕКТ

1. Сформулируйте теорему Штейнера, её применение.

2. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый в стену, совершает колебания в плоскости параллельной стене. Найти период малых колебаний и приведенную длину обруча.

3. Покажите, что приведенная длина физического маятника lпр > а.