Материал: Определение количества витков резьбового соединения с трапецеидальной резьбой, воспринимающего осевую сжимающую нагрузку

где  и р - N-мерные векторы; I - единичный N-мерный вектор-столбец;  - матрица коэффициентов размерности NхN.

Т. о., алгоритм МГЭ состоит из следующих этапов:

Этап 1. Формирование входных данных.

Этап 2. Интегрирование функций  для получения матрицы коэффициентов .

Этап 3. Составление разрешающей системы алгебраических уравнений.

Этап 4. Решение системы.

Этап 5. Подстановка найденных значений в интегральное уравнение и вычисление значений функций во внутренних точках области.

В данной работе мы выбрали метод конечных элементов, так как он довольно прост для программной реализации, и применим для широкого класса задач. Так как метод позволяет варьировать размеры элементов, сетку можно сделать реже в местах, где не нужна особая точность.

2. Алгоритмический анализ задачи

.1 Постановка задачи, описание исходных и результирующих данных

Требуется определить количество витков резьбового соединения с трапецеидальной резьбой воспринимающего осевую сжимающую нагрузку.

Исходными данными являются размеры деталей резьбового соединения, материалы деталей резьбового соединения (Деталь с наружной резьбой сталь, деталь с внутренней резьбой латунь), осевая сжимающая нагрузка.

Результирующими данными являются: количество витков, необходимое для восприятия осевой сжимающей нагрузки, а также вектор смещений узлов элементов. [5]

Для решения системы линейных алгебраических уравнений используется метод Гаусса-Зейделя.

.2 Описание математической модели

Поверхность разбивается на конечные элементы треугольного типа, и нумерацией узлов по часовой стрелке (Рисунок 1).

Рисунок 3 - Конечный элемент

Данный элемент, имеет три узла, пронумерованных по часовой стрелке. Каждый узел имеет две компоненты перемещения: по х, по у.

а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор

Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью величинами.

Рисунок 4 - Перемещения узлов элемента

Простейшим представлением являются линейные полиномы

(30)

Значения шести постоянных a_i легко найти из двух систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются в результате подстановки в (30) узловых координат и приравнивания значения перемещений соответствующим перемещениям узловых точек. Записав, например,

выражают a₁, a₂, a₃ через величины узловых перемещений u_i, u_j, u_m и окончательно

                         (32)

остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, m, а величина  определяется соотношением

Аналогично можно представить перемещение v в вертикальном направлении

Соотношения (31) и (32) в стандартной форме определяют перемещения любой точки внутри элемента

где I - единичная матрица размерности 2x2,  - координатные функции, которые называются функциями формы

Для каждого из элементов плоскости существуют матрицы, определяющие его поведение.

Матрица [E] - матрица механических характеристик.

Ее вид:

где G - модуль упругости материала, а µ- коэффициент Пуассона.

Матрица [Q] - матрица дифференциальных операторов.

Ее вид: .

Матрица [A] - матрица неизвестных при коэффициентах.

Ее вид:

где x1, y1 - координаты 1-го узла элемента;

x2, y2 - координаты 2-го узла элемента;

x3, y3 - координаты 3-го узла элемента.

Зная эти матрицы для элемента i, для него составляется матрица жесткости по формуле:

k_i=,

Где dx,dy - стороны треугольника

Далее, зная для каждого элемента локальную матрицу жесткости, находится глобальная матрица жесткости.

K=

Определяется вектор нагрузки R. Для плоской задачи для i-ого узла нагрузку можно задать в двух направлениях: по x и по y.

,

Где  - компонента вектора нагрузок для i-ого узла, определяющая давление, прикладываемое к узлу по оси абсцисс.

 - компонента вектора нагрузок для i-ого узла, определяющая давление, прикладываемое к узлу по оси ординат.

Далее необходимо задать граничные условия.

Для закрепленных узлов в матрице [K] необходимо сбросить значения в строках и столбцах, а на главной диагонали для них приравнять к 1.

Далее необходимо составить глобальный вектор нагрузок, который будет состоять из компонент нагрузок для каждого узла.

.

Далее необходимо составить систему уравнений.

Или, если переписать в матричной форме

[K]{u}={R},

Где [К] - глобальная матрица жесткости. В данной системе элементы глобальной матрицы жесткости являются коэффициентами при неизвестных;

{u} - вектор столбец искомых значений.

{R} - Глобальный вектор столбец нагрузок. В данной системе элементы вектора выступают в роли свободных членов уравнения.

Решая данную систему, получают смещения узлов. Вектор {u} будет иметь вид:

 {δ}=,

где u_i, v_i - смещения узла относительно первоначального положения.

Для решения поставленной задачи вводится условие (33), при неудовлетворении которого, выводится результат.

 (33)

Где k - число витков;

P - шаг резьбы;

L - длина конца болта;

 - достаточная точность;

dli - длина абсолютного смещения i-ого узла элемента, принадлежащего болту, определяемая по формуле (34).

dl_i=,

где u_i, v_i -смещения узла по оси абсцисс и ординат, которые берутся из вектора {δ}.[6]

Рисунок 5 - Абсолютное смещение

.3 Графическая схема алгоритма решения задачи

Рисунок 6 - Графическая схема алгоритма решения задачи

3. Программная реализация

.1 Структура программного комплекса

Структура программного комплекса включает 6 пользовательских классов: Rezba, Uzl_Coord, matrAclass, matrKLOCclass, globindexes, GausMethod. Их элементы описаны в таблицах 3.1.1-3.1.6

Таблица 3.1.1 - Элементы класса Rezba

Таблица 3.1.2 - Элементы класса Uzl_Coord

Таблица 3.1.3 - Элементы класса matrAclass

Таблица 3.1.4 - Элементы класса matrKLOCclass

Таблица 3.1.5 - Элементы класса matrKLOCclass

Таблица 3.1.6 - Элементы класса GausMethod

Программа состоит из следующих форм:

Form1 - главная форма программы (рисунок 7);

Form2 - форма для графического изображения элементов (рисунок 8).

Таблица 3.1.3- Таблица управляющих элементов формы Form1

Рисунок 7 - Скриншот главной формы программы

Рисунок 8 - Скриншот форма для графического изображения элементов

3.2 Инструкция пользователя

Данная программа производит подсчет количества витков для резьбового соединения, с трапецеидальной резьбой, воспринимающего осевую нагрузку с заданными размерами и материалами элеметов резьбового соединения.