1. Развитие
математических способностей
1.1 Сущность понятия
«способности»
Под способностями понимаются индивидуальные особенности личности, позволяющие успешно выполнять ту или иную деятельность.
Рассмотрим различные подходы к трактовке способностей в философской и психолого-педагогической литературе: природа способностей, их классификация, разграничение понятия «способности» и смежных ему понятий.
Понятие «способность» ввел в науку Платон. Он полагал, что нет способностей субъекта без их объекта. Его последователем был Аристотель: он определял способности как побудительное свойство души, определенное объектом, о котором сообщают его познавательные способности и чувства удовлетворения или неудовлетворения. Гален развил учение о способностях, рассматривая их как «то, при помощи чего». Уже в то время четко наметились две линии понимания способностей: их врожденность (Аквинский, Августин); их зависимость от внешних условий (Аристотель, Платон, Гален). Я.А Коменский впервые показал, что способности приобретаются в опыте.
В педагогике и психологии, исходя из личностно - деятельностного подхода, одни авторы (Ю.Б. Гиппенрейтер и др.) считают, что способности определяются как индивидуально - психологические особенности человека, которые выражают его готовность к овладению определенными видами деятельности и к их успешному осуществлению.
Другие авторы (В.Г. Ананьев, С.Г. Рубинштейн), рассматривают способности как свойство функциональных систем, реализующих определенные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в деятельности и своеобразии выполнения деятельности.
В современной и зарубежной психологии и педагогике существует несколько направлений, рассматривающих сущность природы и направления развития способностей, особенно в аспекте соотношения в этом развитии биологических и социальных факторов:
1. Биологизаторское направление (З. Фрейд, А. Адлер) (врожденность способностей, унаследованных от родителей);
2. Социальное направление (А.И. Галич, А.Н. Леонтьев) (развитие способностей происходит исключительно под воздействием определенной среды воспитания);
3. Биосоциальное направление (А. Роджерс, Э. Торндайк) (способности развиваются как результат одновременного развития биологического и социального факторов).
С.Л. Рубинштейн в своих работах прослеживает гармоническую и взаимообусловленную связь биологических и социальных факторов развития способностей.
Сходные взгляды на природу способностей и динамику их развития высказывает Б.М. Теплов. Он формулирует три признака способностей:
1. Под способностью разумеются индивидуально - психологические особенности, отличающие одного человека от другого;
2. Способностями называют лишь такие индивидуальные особенности личности, которые имеют отношение к успешности выполнения какой-либо деятельности;
. Способности не сводятся к наличным знаниям, навыкам или умениям, которые выработаны у данного человека, но которые могут объяснить легкость и быстроту приобретения этих знаний и навыков.
Б.Г. Ананьев, рассматривая природу и структуру способностей, определяет их как сочетание «весьма различных образований функциональных, операционных и мотивационных».
В психологии способности определяются как индивидуальные особенности личности, являющиеся условием успешного выполнения той или иной продуктивной деятельности. Понятие «способности» связано с понятиями «личность» и «деятельность».
К.К. Платонов рассматривает соотношение способности и личности следующим образом: выделяя «динамическую функциональную структуру личности», он не вводит способности в число основных подструктур личности. По его мнению, способности надо рассматривать как основные качества личности, влияющие на все составляющие структуры личности. Это с одной стороны. С другой стороны, выступая в качестве условий этого развития.
Соотношение способности и деятельности имеет две стороны: во-первых, соответствие способностей требованиям предъявляемой деятельностью; во-вторых, влияние самих способностей на характер деятельности.
Интересной является и взаимообратная связь способностей и знаний, умений и навыков. Способности - это такие психологические особенности человека, от которых зависит успешность приобретения знаний, умений и навыков, но которые сами к наличию этих знаний, навыков и умений не сводятся. Способности и знания, способности и умения, способности и навыки не тождественны друг другу. По отношению к навыкам. Умениям и знаниям способности человека выступают как некоторая возможность.
Способности обнаруживаются не в знаниях, умениях и навыках, как таковых, а в динамике их приобретения, то есть в том, насколько при прочных равных условиях быстро, глубоко, легко и прочно осуществляется процесс овладения знаниями и умениями, существенно - важным для данной деятельности.
Говоря о способностях, необходимо охарактеризовать их качественные и количественные особенности. Для педагога в равной мере важно знать, и к чему обнаруживает способности ученик, а следовательно, какие индивидуально-психологические особенности как обязательное условие ее успешности (качественная характеристика способностей), и в какой мере способен ученик выполнять требования, предъявляемые деятельностью, насколько быстрее, легче, и основательнее он овладевает навыками, умениями, знаниями по сравнению с другими (количественная характеристика способности).
Способности не существуют вне конкретной деятельности человека, а формирование их происходит в процессе обучения и воспитания. Самый верный путь определения способностей - это выявление динамики успехов ребенка в процессе обучения. Наблюдая за тем, как с помощью взрослых ребенок приобретает знания и умения, как по-разному принимает эту помощь (один, получив ее, тем не менее продвигается весьма медленно, другие в тех же условиях показывают заметные успехи), можно делать основательные выводы о величии, силе и слабости способностей.
Способности существуют в постоянном процессе развития. Способности, которые не развиваются, которыми на практике учащиеся перестают пользоваться, со временем теряются. Только благодаря постоянным упражнениям, связанными с систематическими занятиями, сложными видами человеческой деятельности, в частности математикой, педагог поддерживает и развивает дальше у учащихся существующие способности.
Вывод: анализ психолого-педагогической литературы позволил сделать следующие выводы:
1) способности - это такие психологические особенности человека, которые являются субъективными условиями успешного выполнения определенной деятельности;
2) в процессе обучения
способности ученика, проявляются как его психологические особенности,
являющиеся условием успешного приобретения им знаний, умений и навыков.
1.2 Структура
математических способностей
В исследовании математических способностей внесли свой вклад такие яркие ученые - психологи, как А. Бине, Э. Торндайк, Г. Ревеш; математики А. Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений, определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Ученые не сходятся во мнениях, что такое «математические способности». Единственное, с чем согласны все исследователи, это мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их воспроизведению и применению, и творческие математические способности.
Определим математические способности учащихся как психологические особенности, являющиеся условием успешного приобретения ими математических знаний, умений и навыков.
Из отечественных исследователей необходимо упомянуть русского математика Д.Д. Мордухай-Болтовского с оригинальной статьей «Психология математического мышления». Автор утверждает, что способность к математике не всегда присуща даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница. Для нас предоставляет интерес структура математических способностей, которую он выделил:
1. «сильная память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика» (не на факты, а на идеи и мысли);
2. остроумие, под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух, малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в, казалось бы, разных предметах;
. быстрота мысли, которая объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному.
Структура математических способностей, по мнению других отечественных ученых, включает ряд частных способностей:
ü способность к обобщению математического материала;
ü способность к свертыванию процесса математического рассуждения и соответствующих математических действий (многозвеньевая последовательность рассуждений заменяется короткой связью, вплоть до почти непосредственной связи между восприятием задачи и ее результатом);
ü способность обратимости мыслительного процесса (переход от прямого к обратному движению мысли);
ü Гибкость мыслительных процессов при решении математических задач и т.д.
Выдающийся советский математик А.И. Колмогоров выделил три компонента математических способностей: алгоритмический, геометрический и логический.
Геометрический компонент:
a) Способность извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем ее анализа или дополнения, включая поиск идеи решения задачи с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления;
b) Способность к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным примерам в процессе решения негеометрических задач.
Алгоритмический компонент:
a) Способность применять готовые алгоритмы и методы в конкретной ситуации;
b) Способность свести задачу к выполнению конечной цепи более элементарных действий;) Способность довести до конца намеченный план решения, применяя аналитические методы, относящиеся к алгебре, тригонометрии или анализу.
Логический компонент:
a) Вычленение (из некоторого общего положения) и исследованием всех частных случаев;
b) Создание экономной и непротиворечивой схемы решения задачи;) Проведение доказательных рассуждений, использующих, в частности, прием доказательства «от противного», обращение к контрпримеру, продвижение при решении задач «от конца к началу» и другие приемы.
В.А. Гусев предложил вариант классификации составляющих (параметров) математических способностей учащихся, обеспечивающих полноценную математическую деятельность.
1. параметры, характеризующие «математический стиль» мышления:
- гибкость мыслительного процесса;
обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении;
предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;
стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
2. параметры, характеризующие качества личности учащихся как математиков, имеющих природную обусловленность или приобретенные в процессе математической деятельности:
- привычка к полноценной логической аргументации;
быстрота усвоения учебного материала;
геометрическое воображение или «геометрическая интуиция»;
обладание достаточным терпением при решении математических задач;
математическая память.
. параметры, характеризующие математическую деятельность:
ориентировочный этап деятельности;
умственные действия;
практические действия.
В.А. Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей.
К.К. Платонов, опираясь на исследования В.А. Крутецкого, предложил схему структуры математических способностей учащихся, которая содержит и основные этапы решения математических задач.
I. Получение математической информации.
) Способность к формализованному восприятию математического материала, охватыванию формальной структуры задачи
1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
) Гибкость мыслительных процессов и математической действительности.
) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения.
) Способность к быстрому и свободному переключению с прямого хода мысли на обратный (обратимость процесса математического рассуждения).
III. Хранение математической информации.
1) Математическая память (схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)
IV. Общий синтетический компонент.
) Математическая направленность ума.
Вывод: математические способности - это психологические особенности,
являющиеся условием успешного приобретения математических знаний, умений,
навыков.
2. Методика изучения темы «Обыкновенные дроби»
способность математический дробь пятый
2.1 Логико-дидактический
анализ темы «Обыкновенные дроби» на предмет развития математических
способностей
Логико-математический анализ темы будем проводить по следующей схеме:
1. Цели изучения темы и требования к математической подготовке учащихся по данной теме.
2. Логико-математический анализ теоретического материала:
- Какие понятия вводятся, даются ли им определения, каковы связи между этими понятиями;
- Какие утверждения изучаются, доказываются ли они, каковы связи между ними;
Какие задачи приведены в теоретической части, какова цель их рассмотрения;
Какой может быть математическая карта темы.
3. Анализ задачного материала
- Задачи, которые соответствуют обязательным результатам обучения;
- Комплексы взаимосвязанных задач:
ü Прямые и обратные задания;
ü По единой основе решения (по определению, по формуле);
ü По единому требованию в варьировании данных задач.
4. Рекомендуемые контрольные работы и примерные варианты самостоятельных работ по этой теме.
5. Тематическое планирование.
Анализ проводился по учебнику «Математика 5 класс» Н.Я. Виленкин, Москва, Просвещение, 1990 г.
При изучении математики 5 часов в неделю в 5 классе на тему «Обыкновенные дроби» отводится 26 часов. Согласно программе данная тема включает в себя следующие разделы:
· Окружность и круг.
· Обыкновенная дробь.
· Основные задачи на дроби.