УДК 512.5; 330.4
Об одном свойстве матричного уравнения Х = Е - ХХ
В.Л. Чечулин
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
chechulinvl@mail.ru; (342) 2-396-424
Описано свойство матричного уравнения, описывающего стационарный оборот общественно необходимого времени (безынфляционность экономики) в многомерном (многоотраслевом) случае; указано, что это свойство упрощает итерационный процесс решения уравнения.
Ключевые слова: матричное уравнение оборота общественно необходимого времени; безынфляционность; резольвента.
матричный уравнение итерационный многомерный
On a property of the matrix equation Х = Е - ХХ
V. L. Chechulin
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15
chechulinvl@mail.ru; (342) 2-396-424
Described property of the matrix equation that describes the steady turnover of socially necessary time (non-inflationary economy) in the multivariate (multidisciplinary case) indicated that this property simplifies the process of iterative solutions of the equation.
Key words: matrix equation turnover of socially necessary time; bezyn-inflationary; resolution.
В работах [2], [3] была описана экономико-математическая модель, использующая для представления стационарного (безынфляционного) состояния экономки уравнение
х = 1 - хх, (1)
в [4] упоминалось о матричном уравнении оборота общественно необходимого времени, для представления экономики содержащей несколько отраслей (сферы необходимости, обязательств и свобод). Ниже описаны свойства матричного уравнения, указывающие простой способ его решения.
Одномерный случай
В одномерном случае уравнение (1) решается итерационным способом:
xn+1 = 1 - хnхn. (2)
Уравнение преобразуется к виду х - 1 = -хх, 1 - х = хх, 1 / (1 - х)=1 / хх и далее, так как
, получается
. (3)
Причём эта формула справедлива только в точке решения х = х* (х* - решение (1)).
Многомерный случай
В одномерном случае уравнение (1) переписывается в виде
Х = Е - ХХ, (4)
где Х - квадратная матрица размерности nn, Е - единичная (диагональная) матрица.
ХХ в этом случае представимо посредством матричных рядов ХХ = exp(Хln(X)), где экспонента и логарифм таковы [1]:
, (5)
, (6)
где |s - 1| < 1, (7)
s - собственные числа матрицы X.
Условие (7) выполнимо ввиду прикладного смысла матрицы X (её симметричности и того, что все её элементы по модулю меньше единицы).
По аналогии с (3) для матричного случая имеет место в точке решения Х=Х* (X* - решение (4)):
. (8)
Параметризованный случай
Для параметризованного случая
х = 1 - хх, (9)
Х = Е - ХХ, (10)
вышеприведённые заключения таковы.
Уравнение (9) преобразуемо к виду
х - 1 = - хх, 1 - х = хх, ,
, и далее, так как
,
получается , ,(11)
причём (11) справедливо только в точке решения уравнения (9).
Появление делителя 1/ у членов ряда в (11) указывает в содержательной интерпретации (см. [2], [3]) на замедление оборачиваемости высвобождаемого времени при увеличении параметра от 1 и выше.
Аналогично для матричного варианта уравнения (10) имеется следующее выражение, справедливое в точке решения уравнения (10):
, (12)
также, в содержательной интерпретации (см. [2], [3]) указывающее на замедление оборачиваемости высвобождаемого времени при увеличении параметра от 1 и выше.
Заключение
Установлены свойства матричного уравнения Х = Е - ХХ в виде выражения (12), которое является проверочным для решения уравнения (10), вычисляемого методом простой итерации:
Хn+1 = 1 - ХnХn.
Список литературы
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц: пер. с англ. М.: Наука, 1966. 576 с.
2. Чечулин В.Л. Модели безынфляционного состояния экономики и их приложения: моногр. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2011. 112 с. URL: http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_modeli_ekonomiki.pdf (дата обращения: 25.07.2013).
3. Чечулин В.Л., Леготкин В.С., Русаков С.В. Модели безынфляционности и устойчивости экономики и их приложения: моногр. / Перм. гос. ун-т Пермь, 2012. 112 с. URL: http://www.psu.ru/psu2/files/0444/chechulin_legotkin_rusakov_me_ustojchivost.pdf (дата обращения: 25.07.2013).
4. Чечулин В.Л. Об инфляционных циклах // Вестник Пермского университета. Сер.: Математика. Механика. Информатика. Вып. 7 (33). 2009. C. 76-83.