О транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств
В.Л. Чечулин
Аннотация
Описано свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств: если самопринадлежащее множество принадлежит некоторому второму множеству, то и все объекты, принадлежащие этому самопринадлежащему множеству, тоже принадлежат второму множеству. Это свойство используется для доказательства непротиворечивости теории множеств.
Ключевые слова: множества с самопринадлежностью; отношение принадлежности; транзитивность принадлежности; диалектика единого и многого.
Введение© Чечулин В.Л., 2012
Свойства множеств с самопринадлежностью описаны ранее в работах [1, 2]. Очевидно вытекающее из диалектики единого и многого свойство транзитивности принадлежности для самопринадлежащих множеств требует более подробного описания.
Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств с самопринадлежностью.
1. Алгебра скобок единого и многого
Диалектика единого и многого, являющаяся основанием рассуждения о множествах, указана в табл. 1, 2 [1, 2].
Единое, многое и едино-многое в их комбинациях образуют формально выразимую алгебру скобок [.] и {.}, описанную в левом столбце табл. 1.
Пусть множество А самопринадлежаще, АА, и пусть А принадлежит В, АВ, тогда в записи посредством скобок:
В = {… [А]} = (раскрытие квадратных скобок, табл. 1) = {… А} = (замена самопринадлежащего А его содержимым А={… А}) =
= {… {ai … А}} Где аiA. = (раскрытие скобок {.}, "многое во многом есть многое") =
= {…, ai, … А}}.
Пример. А={a, b, A}, B={c, d, A}. Тогда B = {c, d, A} = (замена А={… А}) =
= {c, d, {a, b, A}} = (раскрытие скобок) =
= {c, d, a, b, A} = (те же замены, что и ранее) =
= {c, d, a, b, a, b, A} = (вычёркивание повторений) = {c, d, a, b, A}.
Таблица 1. Диалектика единого и многого
|
Обозначение |
Пояснение |
|
|
[…] |
Брать нечто как единое, взятое (результат) - единое |
|
|
{…} |
Брать нечто как многое, взятое - многое |
|
|
a = {… а} |
Брать нечто (а) как едино-многое, взятое - едино-многое |
|
|
[[…]] = […] |
Брать единое как единое, взятое - единое |
|
|
[{…}] = […] |
Брать многое как единое, взятое - единое |
|
|
a = {… а}, [а] = a |
Брать едино-многое как единое, взятое - едино-многое |
|
|
{[…]} = […] |
Брать единое, как многое, взятое - единое |
|
|
{{…}} = {…} |
Брать многое как многое, взятое - многое |
|
|
a = {… а}, {а} = a |
Брать едино-многое как многое, взятое - едино-многое |
Таблица 2. Отношение части и целого
|
Обозначение |
Пояснение |
|
|
[х] {… х} |
Единое во многом. (Отношение принадлежности) |
|
|
х {…}, каждый у из х - в {…} |
Многое во многом. (Отношение включения, подмножество) |
|
|
Едино-многое во многом; едино-многое в едином. (Отношение и принадлежности и включения) |
Таким образом, доказана теорема.
Теорема 1 (О транзитивности принадлежности). Объекты, принадлежащие самопринадлежащему объекту А, который принадлежит В, принадлежат объекту В.
АА, АВ аiA аiB.
2. Приложение к доказательству непротиворечивости
Теорема 2 (О недополнимости объекта в М). М - множество всех множеств. Для любого существующего объекта в М не существует дополнения. множество транзитивность теорема
Доказательство. Пусть А - объект, АМ, возможны случаи:
1. А = , тогда А - не объект ( означает несуществование, но не существующий объект).
2. А и МА. Попытаемся построить дополнение В к А в М, т. е. попытаемся собрать все объекты, не принадлежащие, "внешние" по отношению к А, в одно множество В. В = {[х]М | х или хА}.
МА значит МВ, т. е. по теореме 1 (о транзитивности принадлежности) В = М и АВ. Дополнение "поглощает" дополняемый объект. Попытка неудачна. Утверждение теоремы доказано.
3. А = М, очевидно,
В = {[х]М | х или хА} = , что означает не существование дополнения к М в М.
Следствие. Множество всех объектов М невозможно представить в виде объединения двух непересекающихся объектов. М неделимо на части. ?
Теорема 3 (О непротиворечивости). Пусть М - множество всех множеств. Тогда совокупность высказываний, описывающих существующие в М объекты, - непротиворечива.
Доказательство.
Если высказыванием L описан объект А, то отрицание этого высказывания описывало бы дополнение В к объекту А в М, но по теореме 2 (о недополнимости) это невозможно, следовательно высказывания об объектах из М непротиворечивы. ?
Заключение
Таким образом, транзитивность принадлежности для самопринадлежащих множеств основывается на содержательной диалектике единого и многого (алгебре скобок единого и многого). Это свойство используется при доказательстве теоремы о непротиворечивости теории множеств Автор благодарит за конструктивное обсуждение содержания статьи А.А.Волочкова..
Список литературы
1. Чечулин В.Л. О множествах с самопринадлежностью // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. C. 133-138.
2. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Пермь, 2010. 100 с.