Статья: О тензорных квадратах неприводимых представлений почти простых групп с цоколем

Пусть . Автоморфизм г имеет точную орбиту на множестве характеров ц_i, следовательно, по утверждению 1, ц_i^G = ч, где ч - неприводимый характер группы G степени (q+1)e.

Пусть теперь . Рассуждая таким же образом, мы получаем, что в группе G найдется неприводимый характер ч степени (q+1)e такой, что ч = ц_i^G, где ц_i Irr(PGL₂(q)) - сопряженные характеры степени (q+1).

Если q = 2^t, то . Рассуждения здесь аналогичны тем, что приведены выше.

Выясним, с какой кратностью характер ч входит в разложение ч². Для этого рассмотрим скалярное произведение [ч², ч] = [ч², ц_i^G]. По теореме взаимности Фробениуса и утверждению 1 находим

.

Для оценки числа значения [ч², ч] мы будем вычислять значения [ц_i², ц₁] для группы L, где или PGL₂(q).

Утверждение 3 не верно, когда q = 4, 5 или 9, поскольку у групп L₂(4) и L₂(9) неприводимый характер степени q+1 всего один, а у группы L₂(5) такого характера нет.

Известно, что , поэтому единственной почти простой группой кроме L₂(5) здесь будет только группа PGL₂(5).

Доказательство теоремы для группы L₂(9) будет рассмотрено в конце работы.

Лемма 4. Пусть Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Вычислим значение [ц_i², ц₁], пользуясь таблицей 1:

[ц_i², ц₁] = (q+3+S)/(q-1),

Где

Рассмотрим ситуацию, когда 2i+1 = q-1 или 2i-1 = q-1. В первом случае i = (q-2)/2, а -i = = q-1-i = q/2. Если же 2i-1 = q-1, то i = q/2, а-i = q-1-i = (q-2)/2. То есть такая ситуация возможна только в одном случае, когда i = q/2. Тогда

и [ц_i²,ц₁] = (q+3+q-5)/(q-1) = 2.

Если же i не равно ± q/2, то S³ = -4, и тогда [ц_i², ц₁] = (q-3+4)/(q-1) = 1.

Таким образом, одно из слагаемых в сумме равно 2, а остальные e-1 равны 1, следовательно, значение суммы равно e+1. Заметим, что e+1 > 2, т. е. G - как минимум, SM₃-группа. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть q = p^t. Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Вычислим значение [ц_i²,ц₁], пользуясь таблицей 3:

[ц_i², ц₁] = (q+S₁-1)/(q-1),

где

Поскольку числа 2i+1, 2i-1, 1 нечетные, то каждая из трех сумм будет равна 0, и тогда [ц_i²,ц₁]=1.

Таким образом, сумма что при e > 2 доказывает лемму.

Пусть теперь e = 2. Тогда

[(ц₁₊ц₂)², ц₁] = [ц₁², ц₁]+[ц₂², ц₁]+2[ц₁ц₂, ц₁].

Значение [ц₁ц₂, ц₁] определяется так же, как и ранее:

[ц₁ц₂, ц₁] = (q+S₁-1)/(q-1),

Где

Характеры ц₁ и ц₂ сопряжены, поэтому i = p. По условию леммы p - нечетное число, поэтому S₁ = 0 и, следовательно, [ц₁ц₂, ц₁] = 1.

Мы получили, что скалярное произведение [ч², ц_i^G] = 4, то есть G не является SM₂-группой. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть где q - нечетное. Тогда G не является SM₂-группой.

Доказательство. Пусть q = 4k+1. Вычислим значение [ц_i², ц₁], пользуясь табл. 2:

где

Порядок б равен (q-1)/2 = 2k, поэтому б^k = -1, следовательно, е_t(k) = -1 для t ? (q - 1)/2. Если 2i+1 = (q-1)/2, то i = (q-3)/4 = k-1/2, что невозможно. Если 2i-1 = (q-1)/2, то i = k+1/2, что также невозможно.

Таким образом, T = -8, а S₁ = 0, и тогда

Мы получили, что все слагаемые в сумме равны 2, следовательно, значение суммы равно 2e > 2.

Пусть теперь q = 4k+3. Тогда

где .

Значит, [ц_i², ц₁] = (q-1)/((q-1)/2) = 2, и тогда сумма , т.е. G, как минимум, SM₃-группа. Лемма доказана.

Пусть теперь . Докажем, что ни одна группа G, L < G ? Aut(L) не является SM₂ -группой.

Мы будем использовать систему компьютерной алгебры GAP [5]. Если , то G может быть одной из групп: M₁₀, S₆, PГL₂(9), PGL₂(9). Вычислив в GAP по таблице характеров этих групп скалярные произведения [ч², ч], где ч - неприводимый характер максимальной степени группы G, мы получили, что M₁₀ - SM₅, S₆ - SM₅, PГL₂(9) - SM₄-группа. Группа PGL₂(9), как уже было показано, является SM₂-группой.

Список литературы

1. Bierbrauer J. The uniformly 3-homogeneous subsets in PGL₂(q), J. Algebraic Combinatoric, 4 (1995). P.99-102.

2. Белоногов В.А. Представления и характеры в теории конечных групп. Свердловск: Изд-во УрО АН СССР, 1990.

3. Казарин Л.С., Янишевский В.В. О конечных просто приводимых группах // Алгебра и анализ. 2007. Т.19, № 6. С.86-116.

4. Isaacs I.M. Character theory of finite groups. N.Y.: Acad. Press, 1976.

5. The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms and Programming, Version 4.4.10, Aachen, St. Andrews, 2008; http://www.gap-system.org.

6. Белоногов В.А., Фомин А.Н. Матричные представления в теории конечных групп. М.: Наука, 1976.