Материал: О показателе степени некоторых числовых равенств
По условию теоремы все
основания степеней
, 
являются взаимно простыми числами, а
следовательно в системе уравнений (10) нет сократимых и одинаковых уравнений
при любой их перестановке.
Полученная система уравнений приводится к виду системы уравнений (6):
(11)
…………………………………
Она отличается от системы уравнений (6) только количеством уравнений в системе. В системе уравнений (6) количество уравнений равно (n + 1), а в системе уравнений (11) оно равно (R + 1), где R – количество слагаемых числового равенства (1).
Система уравнений (11) очевидно является равносильной системе уравнений (6) (системы уравнений имеют одни и те же решения и относятся к одному и тому же числовому равенству).
Система уравнений (11) при помощи тождественных преобразований аналогичных преобразованиям приложения № 1, но в обратном порядке (свертка системы уравнений (11)), приводится к равенству типа (1) только в том случае, если показатель степени n = R (где R – количество слагаемых в равенстве (1)).
Следовательно, если существует удовлетворяющее условиям теоремы верное числовое равенство типа (1) с показателем степени n > 1, то его показатель степени n = R, что и требовалось доказать.
Теорема нарушается, если
среди оснований, имеются сократимые числа.
Чтобы показать это, предположим, что существует числовое равенство:
в котором основания степени 
и 
являются
сократимыми. Запишем их в виде:
где: P и T – целые, несократимые числа, N – общий множитель.
Тогда числовое равенство примет вид:
(12)
После проведения операций 3 – 8 получим для условий преобразования систему уравнений аналогичную системе уравнений (9):
(13)
……………
А соответствующая числовому
равенству система уравнений (аналогичная системе уравнений (10)) примет вид:
(14)
……………
Последнее уравнение в полученной системе уравнений является сократимым, что и приведет к нарушению теоремы.
Свертка системы уравнений (14) соответствует числовому равенству (12), а свертка этой же системы уравнений после сокращения последнего уравнения невозможна без умножения на множитель (последнее уравнение относится к иному числовому равенству). Для исключения этой неоднозначности необходимо рассматривать подобные исходные числовые равенства (12) первоначально разделив их на множитель N:
(15)
Полученное числовое равенство (15) содержит в своем составе как целые основания степеней, так и рациональные дроби, что выходит за рамки теоремы (нарушается требование целостности оснований числового равенства (1)), может привести к нарушению леммы (невозможности представления в виде системы уравнений (5) аналогично наличию среди оснований иррациональных чисел) и соответственно нарушению теоремы.
Выводы из теоремы:
Согласно теореме числовые
равенства типа (1), удовлетворяющие условиям теоремы, имеют показатель степени n = R
(где: R - количество слагаемых в равенстве). Теорема может
быть нарушена если среди оснований ,имеются сократимые числа.
Исключение составляют числовые равенства имеющие в своем составе только два слагаемых. Такие числовые равенства при отсутствии иррациональных оснований всегда приводимы к условиям теоремы (доказательство приведено в приложении 2).
Следовательно, натуральный показатель степени числовых равенств типа (1) при отсутствии иррациональных оснований и количестве слагаемых R = 2 не может быть больше 2 (большая теорема Ферма).
P.S.: Приведенная выше теорема является частью более общей теоремы. Аналогично можно доказать, что верное числовое равенство вида:
где: Ак, Вt – целые, положительные, взаимно простые, основания степеней слагаемых (Ак)n и суммы (Вt)n;
n > 1 – натуральный показатель степени,
существует при n = (R + N – 1), где: R и N – количество слагаемых соответственно в левой и правой частях равенства.
Доказательство ничем не
отличается от приведенного выше, за исключением применения необходимого
количества операций аналогичной операции перехода из системы
уравнений (6) к уравнению (7) (эта операция позволяет поочередно исключать
слагаемые из одной части равенства) и далее получения условий аналогичных
условию (8).
Приложение 1.
Пусть имеем систему уравнений (5):
……………………………………………….
……………………………………………………..
Каждое уравнение системы является комбинацией всех предшествующих ему в этой системе уравнений. Для исключения из какого либо i-го уравнения системы всех предшествующих ему уравнений этой же системы, необходимо предшествующие ему уравнения до i-го включительно умножить на коэффициенты бинома Ньютона соответствующие показателю степени i и произвести свертку полученных таким образом уравнений. Тогда, после свертки этих уравнений для i-го уравнения системы получим:
Или окончательно i-ое уравнение системы будет иметь вид:
Проделав аналогичные операции по разделению уравнений с каждым из уравнений системы, получим систему уравнений аналогичную системе уравнений (6):
…………………………………………
Следует отметить что все
проделанные операции являются тождественными преобразованиями, а следовательно
они обратимы. Это означает, что если существует система уравнений (6), то,
произведя свертку этой системы (действия аналогичные приведенным
преобразованиям, но в обратном порядке), получим исходное числовое равенство.
Приложение 2.
Пусть существует числовое равенство:
где: A, B, C, D, E, F – целые числа.
Это числовое равенство путем приведения к общему знаменателю приводится к виду числового равенства с целыми основаниями:
(16)
В полученном числовом равенстве слагаемые имеют общий множитель F.
Представим полученное числовое равенство в виде:
Левая часть числового
равенства представляет собой целые числа. Следовательно и правая часть также
является целым числом. Это означает, что частное от деления произведения (BDE)
на целое число F также является числом целым. Следовательно, числовое
равенство (16) сократимо. После деления обеих частей равенства на целое число 
, получим числовое равенство удовлетворяющее
условиям приведенной выше теореме.
Список литературы:
1.Виноградов И.М., Математическая энциклопедия, М., Советская энциклопедия 1977 – 1985.
2.Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике, М., 1966 г., 424 стр.