История развития математики нам также предоставляет огромное количество примеров проявления признака неожиданности и непредсказуемости. Например, Пифагор и его последователи были убеждены, что миром управляют числа. Данное убеждение укоренилось после того, как были выражены закономерности музыки посредством чисел. Но удивление, в особенности разочарование Пифагора и его учеников было огромным, когда выяснилось, что соотношение диагонали и стороны квадрата невозможно выразить соотношением чисел. Следует отметить, что Пифагор и его последователи под числами имели в виду лишь натуральные числа (и их соотношения), и ими была сделана самое большое математическое открытие - открытие иррациональных чисел. Однако получившийся результат был настолько неожиданным, что они были не в состоянии воспринимать его. Впоследствии научная мысль осознала смысл открытия Пифагора: в математику вводились действительные числа, что обогатило математику, сделало ее более совершенной, увеличилась область ее применения, и, естественно, увеличилась также и ее эстетическую привлекательность. эстетика мотивация познание память
Замечательным примером неожиданности и непредсказуемости является открытие неевклидовой геометрии Ф. Гауссом, Н. Лобачевским и Я. Бойяи. Более двух тысяч лет математики пытались доказать эвклидову аксиому параллельности исключительно с помощью аксиом абсолютной геометрии. Тем не менее, это трио ученых показало, что такого не может быть сделано, и эти аксиомы не зависят друг от друга. И предложив в качестве новой аксиомы противоположную эвклидовой аксиоме параллельности аксиому, они пришли к идее неевклидовой геометрии. И удивительно и неожиданно было то, что эта новая геометрия, к которой математики на начальном этапе относились с недоверием и подозрением, нашла серьезное применение в физике. После всего этого эстетическая привлекательность полученных результатов стала очевидной для всех математиков.
Признаки неожиданности и непредсказуемости также могут проявляться в процессе доказательства математических теорем и решении задач. Одной из самых красивых теорем геометрии и математики в целом является теорема Дезарга: если на плоскости даны треугольники АВС и А В С и прямые АА , ВВ , СС пересекаются в одной точке, то тогда точки пересечения прямых АВ и А В , АС и А С , ВС и В С находятся на одной прямой (и наоборот).
Рис. 1. Иллюстрация к теореме Дезарга
А.В. Волошинов объясняет эстетику этой теоремы посредством первых двух признаков научной эстетики Хатчесона - единством многообразий и всеобщностью [1]. Действительно, заключение теоремы не зависит от вида и расположения треугольников, упомянутых в теореме. Нужно только, чтобы прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников, пересекались в одной точке, и для всего разнообразия таких треугольников справедлив вывод теоремы: точки пересечения продолжений соответствующих их сторон будут находится на одной прямой. Научную эстетику теоремы затрагивает также третий признак Хатчесона -- нахождение неочевидной истины. Но теми же особенностями обладают многие другие теоремы математики, которые, однако, не имеют обаяния данной теоремы Дезарга. Следовательно, здесь действуют также и иные признаки научной эстетики. В частности, велика здесь роль признаков неожиданности и особенно непредсказуемости.
Исследуя наличие связей и сходств между алгеброй и геометрией, мы можем пойти еще дальше и раскрыть более глубокие проявления научной эстетики, связанные с теоремой Дезарга. Пифагор и пифагорейцы в основе мироздания ставили числа и объясняли все посредством чисел и их соотношений. Под этими соотношениями-числами обязательно подразумевались перестановочные законы сложения и умножения: от перестановки слагаемых сумма не меняется, и от перестановки сомножителей произведение также не меняется. И вплоть до XIX века математики следовали за Пифагором.
Но в XIX веке выяснилось, что если с операцией сложения такое предположение является естественным, то для умножения оно существенно ограничивает сферу применения чисел, не давая возможность включить их в процесс исследования многих явлений природы. Для преодоления этих ограничений были созданы новые числа, которые, будучи наделенными всеми свойствами сложения и умножения, не были перестановочными по отношению к умножению. Эти числа стали называться гиперкомплексными числами. Впоследствии математики сделали еще один важный шаг: числа были заменены произвольным элементами некоторого множества, с которыми можно было совершить две операции - сложение и умножение и которые обладали всеми свойствами сложения и умножения, кроме перестановочного свойства умножения. Полученные системы были названы телами и получили большое применение как в математике, так и в различных областях науки. Примерами тел являются как системы действительных и комплексных чисел, так и система гиперкомплексных чисел.
Теперь, следуя Декарту, посредством тел можно создать систему координат и на ее основе изложить новую геометрию. Естественно, что подобная геометрия может отличаться от обычной геометрии, ибо перестановочный закон умножения в этих телах может не наличествовать. И действительно, оказывается, что, например, в подобной геометрии невозможно доказать теорему Дезарга. А вот в телах с перестановочным произведением теорема Дезарга имеет место. И удивительно то, что теорема Дезарга имеет место только в полученных посредством перестановочных тел геометриях, то есть, если в полученных с помощью тел геометриях справедлива теорема Дезарга, то умножение в таком теле будет перестановочной [11].
Следовательно, теорема Дезарга в некотором смысле эквивалента перестановочности произведения. Разумеется, здесь научная эстетика проявляется первым (единство многообразий) и третьим (познание неочевидной истины) признаками Хатчесона. И эстетика здесь становится более значимой, поскольку многообразия, о котором идет речь в этих признаках, а именно, алгебраическое тело и геометрическая плоскость довольно далеки друг от друга и различны по своим структурам, что делает более примечательным роль признаков неожиданности и непредсказуемости в эстетической привлекательности полученного результата.
Курс школьной математики хоть и не обладает возможностями математической науки в проявлениях неожиданности и непредсказуемости в своих закономерностях и связях, в частности, в нем отсутствует момент открытия, однако, заключающийся в нем материал достаточен для вовлечения соответствующих эстетических признаков в учебный процесс и передачи эстетической привлекательности этому процессу. Рассмотрим один пример.
Из школьной программы геометрии нам знакома теорема перпендикулярности прямой и плоскости: прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости также перпендикулярна и любой другой произвольной прямой, находящейся на этой плоскости. Трудоемкое доказательство теоремы в школьных учебниках геометрии связано с некоторыми техническими сложностями, в то время как ее с легкостью можно доказать с помощью применения скалярного произведения. Действительно, если мы вместо прямых рассмотрим параллельные им векторы, то перпендикулярность двух прямых будет означать, что скалярное произведение соответствующих им векторов равно нулю. Допустим, х вектор перпендикулярен векторам и и V плоскости а, то есть скалярное произведение этих векторов равно нулю: х' и = 0, х V = 0. Так как векторы и и V не параллельны, то для произвольного w вектора плоскости а найдутся такие действительные числа а и Ь, что, н = аи + bv. Посчитаем скалярное произведение векторов х и н: х н = х'( аи + Ьv) = х аи + х ^ = а(х и) + Ь(х V) = 0 + 0 = 0, х'н = 0. Таким образом, скалярное произведение векоторов х и w равно нулю, то есть они перпендикулярны друг другу.
Эстетическая привлекательность данного доказательства обусловлена прежде всего таким признаком научной эстетики, как неожиданность. Рассмотрим алгебраический пример относительно непредсказуемости решения задачи. Известна следующая задача, приписываемая Эвклиду: показать, что любое нечетное натуральное число является разницей квадратов некоторых двух последовательных чисел [2].
С первого взгляда предложить здесь какое-либо разумное решение кажется невозможным. Но достаточно заметить, что любое нечетное число можно изобразить в виде 2п + 1, где п - любое неотрицательное целое число, и далее рассмотреть уравнение
(п + 1)2 = п2 + 2п + 1
и «заметить», что произведение 2п + 1 является слагаемой суммы, стоящей на правой стороне данного уравнения и представить его следующим образом:
2п + 1 = (п + 1)2 - п2.
Разумеется, сложно ожидать, что ученик средней общеобразовательной школы может «додуматься» до того решения. Однако простата решения и восприятия и его непредсказуемость придают решению эстетическую привлекательность.
Что касается открытий, которые являются важнейшими источниками проявления эстетических признаков неожиданности и непредсказуемости в математической деятельности, то, несмотря на то, что в процессе обучения математике как таковых математических открытий не присутствует, однако, опытный учитель может таким образом организовать учебный процесс, чтобы многие охватываемые в курсе факты не были представлени в готовом виде, а были «открыты» учениками. В свое время в результате как раз такого подхода моего учителя, я в шестом классе «открыл» одну из геометрических теорем. Потом, конечно, выяснилось, что я ничего и не открывал, просто данную теорему мы прошли в следующем классе. Но эстетический заряд от данного «открытия» был настолько велик, что он остался во мне на протяжении всей жизни, передав моей последующей учебной и профессиональной деятельности столь необходимое чувство уверенности.
Некоторые открытия математиков прошлого также можно использовать в процессе обучения математике, учитывая их неожиданность. Выше мы привели пример соотношений 3:2:1 объемов цилиндра и вписанных в нем шара и конуса. Так вот ученикам будет интересно и неожиданно узнать, что часть 3:2 данного выражения (соотношение цилиндра и вписанного в него шара) была открыта величайшим математиком древности Архимедом. И Архимед считал это открытие настолько значимым, что попросил на своей могиле изобразить цилиндр и вписанный в нем шар.
Полезность: Полезность является одним из субъективных признаков научной или математической эстетики, которая служит также в качестве источника мотивации в процессе обучения. Материал, включенный в учебные программы по математике, школьный язык математики, область его применения включают такие знания и навыки, которые понадобятся человеку на протяжении всей жизни. Сказанное относится не только к самым разным применениям математики в жизни и смежных учебных предметах, но и к формированию внутреннего мира, мировосприятия и мировидения учащегося. Из него следует, что для проявления эстетического признака полезности в процессе обучения необходимо сопровождать изложение математического материала его многочисленными применениями, а также формированием ценностей.
Список библиографических ссылок
1. Волошинов А. В. Математика и искусство. 2-е изд. М., 2000. 400 с.
2. Микаелян Г.С. Алгебра-7. Учебник для общеобразовательной школы. Ереван: Эдит Принт, 1999; 2006. (на армянском языке).
3. Микаелян Г.С. Прекрасное и математика. Ереван: Эдит Принт, 2014. (на армянском языке).
4. Микаелян Г.С. Прекрасное и образовательный потенциал математики. Ереван: Эдит Принт, 2015. (на армянском языке).
5. Микаелян Г.С. Образующие признаки научной эстетики в процессе обучения математике: порядок. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. Черкаси: ЧНУ ім. Богдана Хмельницького, 2017. Вип. 6.2017. С. 106-110.
6. Микаелян Г.С. Логические признаки научной эстетики в процессе обучения математике. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. Черкаси: ЧНУ ім. Богдана Хмельницького, 2016. Вип. 18.2016. С. 85-93.
7. Микаелян Г.С. Образующие признаки научной эстетики в процессе обучения математике: гармония. Вісник Черкаського університету. Серія: Педагогічні науки. Черкаси: ЧНУ ім. Богдана Хмельницького, 2017. Вип. 7.2017. С. 88-93.
8. Пуанкаре А. Математическое творчество. Психол. этюд. Юрьевъ: тип. Э.Бергмана, 1909. 24 с.
9. Родионов М.А. Мотивация учения математике. От теоретического осмысления к практической реализации: монография. Saarbrьcken, Palmarium Academic Publishing, 2012. 252 p.
10. Саранцев Г. И. Эстетическая мотивация и обучение математике. Саранск, 2003. 136 с.
11. Харстхорн Р. Основы проективной геометрии. М.: Мир, 1970. 160 с.
References
1. Voloshinov, A.V. (2000). Mathematics and Art. 2nd edition. Moscow, 2000. 400 p. (in Rus.).
2. Mikaelian, H.S. Algebra-7 (1999, 2006). Textbook for secondary schools. Yerevan: Edith Print. (in Armenian).
3. Mikaelian, H.S. (2014). Beauty and mathematics. Yerevan: Edith Print. (in Armenian). Mikaelian, H.S. (2015). Beauty and educational potential of mathematics. Yerevan: Edith Print. (in Armenian).
4. Mikaelian, H.S. (2017). The forming signs of scientific aesthetics in the process of teaching mathematics: order. Bulletin of Cherkasy University. Pedagogical Sciences. Cherkasy: Bogdan Khmelnitsky CNU, Issue 6.2017. 106-110. (in Rus.).
5. Mikaelian, H.S The forming signs of scientific aesthetics in the process of teaching mathematics: harmony. Bulletin of Cherkasy University. Pedagogical Sciences. Cherkasy: Bogdan Khmelnitsky CNU, Issue 7.2017. 88-93.
6. Mikayelian, H.S Logical signs of scientific aesthetics in the process of teaching mathematics / GS Mikaelyan. Bulletin of Cherkasy University. Pedagogical Sciences. Cherkasy: Bogdan Khmelnitsky CNU, Issue 18.2016. 85-93. (in Rus.).
7. Poincare, A. (1909). Mathematical creativity. Psychological etude. Yuryev: Printing house of E.Bergman (Tartu). 24 p. (in Rus.).
8. Rodionov, M.A. (2012). Motivation of Teaching Mathematics, From Theoretical Reflection to Practical Realization: monograph. Saarbrucken, Palmarium Academic Publishing, 2012. 252 p. (in Rus.).
9. Sarantsev, G.I. (2003). Aesthetic motivation and teaching mathematics. Saransk. 136 p. (in Rus.).
10. Harsthorn, R. (1970). Fundamentals of Projective Geometry. Moscow: World. 160 p. (in Rus.).