Армянский государственный педагогический институт
имени Х. Абовяна
Мотивационные признаки научного прекрасного в процессе обучения математике
Микаелян Гамлет Суренович, доктор педагогических наук, кандидат физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой математики и методики ее преподавания
Республика Армения
Аннотация
В работах [5-7] мы рассмотрели объективные признаки научной или математической эстетики (научного или математического прекрасного), признаки, которые относятся к объектам тех или иных сфер науки. Проявление эстетического начала обусловлено также умственными, интеллектуальными способностями субъекта, осуществляющего научную деятельность. Следовательно, часть признаков научной эстетики относится к субъекту. Такими признаками являются любознательность, гибкость и скорость ума и т.д. Частью научной эстетики являются также те признаки, которые проявляются в процессе двустороннего взаимодействия объекта и субъекта и проявляют ту или иную сторону психики субъекта: познание, деятельность и т.д. Такими являются, например, неожиданность, которая выражает ожидания субъекта в процессе взаимодействия с научным объектом, полезность, которая выражает важность научного объекта для субъекта и т.д. Все это мы называем субъективными признаками научной эстетики (научного прекрасного). Субъективные признаки научной эстетики мы также разделяем на три группы. В первую группу мы включаем те признаки, которые относятся к мотивации деятельности субъекта. Назовем их мотивационными признаками. Это полезность, неожиданность, непредсказуемость, целенаправленное преодолевание сложных и трудных препятствий и т.д. Во вторую группу включены те признаки, которые относятся к процессу познания, его природе, сущности. Назовем их познавательными признаками. В познавательные признаки научной эстетики мы включаем интеллектуальный поиск, нахождение, открытие, познание, понимание сущности предмета, знание неявной истины и т.д. В третью группу субъективных признаков мы включаем те признаки, которые относятся к психике осуществляющего деятельность субъекта. Назовем их психическими признаками научного прекрасного. К психическим признакам научного прекрасного мы относим наличие положительных признаков мысли, воображения, памяти, способности, воли (проницательность, скорость, гибкость мысли, устойчивость внимания, целенаправленность, сила воли и т.д.). В данной работе мы рассмотрим мотивационную группу субъективных признаков математического прекрасного. Мотивационные признаки научного прекрасного рассматривались множеством исследователей. Роли эстетики в вопросе мотивации в процессе обучения математике придают особую важность М.А. Родионов [9] и Г.И. Саранцев [10].
Ключевые слова: эстетика математики; признаки математического прекрасного;
субъективные признаки; мотивационные признаки; полезность; неожиданность; непредсказуемость; целенаправленное преодоление сложных и трудных препятствий.
MIKAELIAN Hamlet,
Doctor in Pedagogy, PhD in Physics and Mathematics, Professor,
Chair of Mathematics and its Teaching Methods Department,
Armenian State Pedagogical University after Khachatour Abovian
MOTIVATIONAL FEATURES OF SCIENTIFIC BEAUTY IN THE PROCESS OF TEACHING MATHEMATICS Abstract. In [5-7], we examined the objective signs of scientific or mathematical aesthetics (scientific or mathematical beauty), signs that relate to the objects of certain spheres of science. Another part of the signs of scientific aesthetics (scientific beauty) refers to the subject. The manifestation of the aesthetic is also due to the intellectual abilities of the subject carrying out scientific activity. Such signs are curiosity, flexibility and speed of mind, etc. Part of scientific aesthetics (scientific beautiful) are also those signs that are manifested in the process of two-way relationship between the object and the subject and show one or another side of the subject's psyche: cognition, activity, etc. These are, for example, a unexpectedness that expresses a subject in the process of relationship with a scientific object, a utility that expresses the importance of a scientific object for the subject, etc. All this we call subjective signs of scientific aesthetics.
Subjective signs of scientific aesthetics, we also divide into three groups. In the first group we include those signs that relate to the motivation of the subject's activity. Let's call them motivational signs. It is usefulness, surprise, unpredictability, purposeful overcoming of difficult and difficult obstacles, etc. The second group includes those signs that relate to the process of cognition, its nature (essence). Let's call them cognitive signs. In the list of cognitive signs of scientific aesthetics we include intellectual search, finding, discovery, cognition, understanding of the essence the subject, knowledge of the implicit truth, etc. In the third group of subjective signs, we include those signs that relate to the psyche of the person carrying out the activity. Let's call them the psyche signs of scientific aesthetics. In the psyche signs of scientific aesthetics we attribute the presence of positive signs of thought, imagination, memory, ability, will (insight, speed, flexibility of thought, stability of attention, purposefulness, willpower, etc.). In this paper we consider the motivational group of subjective signs of mathematical aesthetics (mathematical beauty). Motivational signs of scientific aesthetics were considered by many researchers. The roles of aesthetics as the matter of motivation in the teaching process of mathematics attach special importance to M.A. Rodionov [9] and G.I. Sarantsev [10].
Key words: aesthetics of mathematics; signs of mathematical beauty; subjective signs; motivational signs; usefulness; surprise; unpredictability; purposeful overcoming of difficult and difficult obstacles.
Целенаправленное преодолевание сложных и трудных препятствий, достижение цели. Математическая деятельность, начиная с обучения курсам общеобразовательной и высшей школи до осуществления математических открытий, является целенаправленным процессом преодолевания сложных, трудных и целенаправленных препятствий. Для достижения уровня осуществления математических открытий, математическая деятельность требует от исследователя упорной и последовательной работы для преодоления сложного и трудного материала, для усвоения соответствующих положений теории. И каждая математическая теория представляет собой своеобразную архитектурную конструкцию, наличествующие взаимоотношения между элементами которой обладают не только особенной красотой, но и намечают последующий процесс этих взаимоотношений, и ведут истинную мысль и душу к познанию. И такое преодолевание сложных и трудных препятствий придает знанию некую эстетическую привлекательность.
Вся данная деятельность позволяет сопровождать знание математического материала познанием красоты его архитектурного строения, а последнюю цель - осуществление математического открытия - сопровождает чувством прекрасного. Именно это имеет в виду Дж. фон Нейман, когда находит, что математика в основном развивается благодаря эстетическим мотивам.
Эстетический признак целенаправленного преодолевания сложных и трудных препятствий широко проявляется как в чисто математической деятельности, так и в процессе обучения математике. Однако эти два процесса отличаются друг от друга своими целями, а также способами реализации. Если в первом целью является изучение профессионального математического материала и получение новых результатов на его основе, то во втором реализуются чисто образовательные цели, и математический материал служит как способ реализации этих задач.
Что касается форм реализации деятельности, то математик, специалист реализует свою деятельность уединенно, он выдвигает цель, гипотезу, намечает задачи, а также стоящие на пути к их решению препятствия, на преодолевания которых и направляет свои усилия.
Иная картина в математическом образовании. Здесь, несмотря на то, что препятствия более ясные и простые, не особо велики и способности одолевающих эти препятствия. К тому же, предлагаемые препятствия ученики преодолевают одновременно и вместе, но обладают совершенно разными способностями к преодолению. И данный процесс преодоления выдвигает разнообразные психолого-педагогические задачи, решение которых требует уже от учителя приложения серьезных усилий.
Если учитель ставит перед всеми учениками одни и те же математические задачи, то, естественно, их существенная часть не способна преодолеть возникшие препятствия, отчаивается и остается вне процесса обучения. Эстетический признак преодоления сложных и трудных препятствий превращается в антиэстетический и непедагогический подход. Для избежания такого положения дел в первую очередь следует учитывать способности учащегося.
С другой стороны, математические учебники должны содержать задачи, соответствующие различным требованиям и уровням сложности. Необходимо учитывать, что удачное решение даже простой математической задачи (преодоление простого препятствия) для слабого ученика представляет собой преодоление сложного препятствия и может воодушевить его, втянуть в образовательный процесс.
Доказательство математической теоремы, решение задачи представляют собой некие целенаправленные процессы, зачастую предполагающие реализацию сложных и трудных действий. И, следовательно, обучение им должно сопровождаться с некой эстетической привлекательностью. Рассмотрим, к примеру, следующую задачу.
Мы имеем два сплава, содержащие соответственно р1 и р2 процента золота. Каким образом мы сможем получить из них сплав в количестве т, содержащий р процентов золота?
Исходя из общей эстетики алгебраического подхода, которая вытекает из принципа единства многообразий, предположим, что мы взяли из первого сплава некое количество х, а из второго сплава - некое количество у. Казалось бы, следующий шаг: х + у = т, не представляется сложным, однако, стоит отметить, что так же, как поднимаясь в гору нельзя двигаться все время по подъему, так и процесс обучения нельзя сводить только к преодолению сложных и трудных препятствий. Их нужно перемещать с простыми шагами, что, во-первых, релаксирует ум, и далее полученный положительный результат увеличивает надежду достичь окончательной цели. Творческая часть решения задачи, которая является результатом интеллектуального поиска, в данном случае представляет собой то, что количество золота в общем сплаве такое же, как и в обоих сплавах, взятых вместе. Что это значит с алгебраической точки зрения? И именно здесь мы встречаем наше основное препятствие. Для его преодоления нам необходимо найти количество золота в первом и втором сплавах, а также количество золота в их смеси, и воспользоваться результатом нашего интеллектуального поиска - сумма первых двух должна быть равна третьему. Первые три шага требуют от нас способности посчитать процент, а последний - знания объединяющей модели операции сложения. Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений:
Здесь для того, чтобы довести дело до конца, мы должны обладать специальным математическим навыком. В конце концов мы получим:
Казалось бы, мы решили поставленную перед нами задачу, преодолев сложное и трудное препятствие, целенаправленно дошли до цели. Обычный ученик удовлетворится полученным ответом и остановится на этом месте. Но пытливый, склонный к поиску ум продолжит исследовательские работы и попытается выяснить, каким образом взаимодействует р с р1 и р2. Естественно, что поиск ответа на данный вопрос представляет собой эстетическую деятельность в качестве интеллектуального поиска, к привлекательности которой добавляется еще и эстетическая привлекательность преодоления сложного препятствия на пути к решению задачи.
Еще в самом начале мы обязаны были рассмотреть вопрос взаимосвязи р1 и р2 и исключить случай р1=р2, так как при решении системы (1) мы произвели деление на разность р1-р2 и получили ее в знаменателях ответов (2). И вот мы видим еще одну тонкость: как нам поступить в случае р1=р2? Однако это не представляет особо сложного препятствия на нашем пути и преодолевается без особого труда: в этом случае процент золота останется неизменным в объединении любого количества двух сплавов. Следовательно, задача в этом случае получит положительное решение, если р = р1 =р2.
Таким образом, мы можем предположить, что р1 Фр2 , и считать, что, например, р1 > р2. Таким образом, из решения (2), проявив не самые сложные математические навыки, мы получим р1 > р > р2 . То есть, изначально в условии нашей задачи должно было быть дано, что процентное содержание золота в новом сплаве, полученном из смеси двух сплавов, находилось между процентными содержаниями двух сплавов.
Казалось бы, вот мы и завершили решение задачи. Однако пытливый ум всегда находит новые пути к исследованию. Также и в этом случае. Появляется, к примеру, вопрос о том, какой из сплавов мы должны взять в большем количестве для получения p процента золота в смеси? Но мы на этом остановимся, оставив решение вопроса, как и ожидаемое от него эстетическое удовольствие, на волю нашего читателя, обладающего навыками интеллектуального поиска.
Неожиданность, непредвиденность. Гарсия Маркес как-то сказал: «Старайтесь не намечать целей и планов на необозримое будущее, ведь наиболее значимые вещи случаются неожиданно». Неожиданность и непредвиденность сопровождаются чувством изумления и потому обладают огромным потенциалом эстетической привлекательности.
Неожиданность как эстетический признак математики рассматривают В.Г. Болтянский, Г.И. Саранцев, М.С. Якир, А.В. Волошинов. Последний в своей работе [1] рассматривает следующий пример проявления признака неожиданности. В прямой цилиндр вписаны шар и конус, чье основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина находится в центре другого основания цилиндра. Каким образом соотносятся объемы цилиндра, шара и конуса? Несмотря на то, что подсчеты здесь очень простые, тем не менее полученный результат довольно неожиданный. Требуемые соотношения выражаются следующим образом: 3:2:1. Тот факт, что объем цилиндра окажется в три раза больше вписанного в него конуса, следовало ожидать (подобная связь наличествует также и между призмой и вписанной в нее пирамидой). Но факт того, что объем шара окажется в два раза больше объема конуса, был довольно неожиданным, что придало полученному результату некую эстетическую привлекательность.
В процессе математической деятельности данные эстетические признаки проявляются наиболее примечательным образом во время математических открытий. Об эстетической привлекательности неожиданности в математическом открытии пишет А.Пуанкаре [8]. Обычно ученые, исходя из своего опыта и основанной на нем интуиции, для решения научных задач, поставленных перед ними, выдвигают некоторые гипотезы и предпринимают попытки их доказать. Однако не всегда данные гипотезы реализуются, иногда получаются неожиданные или непредсказуемые результаты, и в таких случаях проявляются соответствующие эстетические признаки, которые придают подобным открытиям дополнительную эстетическую привлекательность. Научный мир, к примеру, когда-то был уверен, что, двигаясь из Европы на Запад, мы обязательно достигнем Индии или Китая. Однако материк, открытый Колумбом таким путем, оказался ни Индией, ни Китаем. Можно представить степень эстетического удовольствия, которое получил Колумб или научный мир и общественность, узнав об этом. Такими открытиями богаты все науки.