Материал: МОС Ответы на экзамен

1. Абсолютная и относительная погрешности

Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна

1,214 – 1,2: т. е. 0,014.

В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью.

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом .

А ≈ а (±Δ).

Запись следует понимать так: точное значение величины А находится в промежутке между числами а - и а + Δ, которые называют соответственно нижней и верхней границами А и обозначают НГА и ВГА.

Пример: если А ≈ 2,3(± 0,1), то 2,2 < А < 2,4.

Наоборот, если 7,3 < А < 7,4, то А ≈ 7,35(± 0,05).

Относительная погрешность (Relative error), "δ" – отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа.

Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью: δ = / а.

Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах.

Пример. 12,3 < А <12,7.

Ответ: а = 12,5 (± 0,2). = 0,2.

δ = 0,2 / 12,5 = 0,016

= 1,6%.

2. Приближен ные вычисления с помощью правил подсчета цифр

3. Приближенные вычисления по способы границ.

Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя − сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ(х + у) = НГx + НГу; ВГ(х + у) = ВГx + ВГу.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(xу) = НГx • НГу; ВГ(ху) = ВГx • ВГy.

Для обратных действий − вычитания и деления − соответствующие правила имеют вид:

−округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ − по избытку;

−чем меньше разность ВГх – НГх, тем точнее определяется х;

−в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГх и ВГх или число близкое к нему.

4. Интерполяция

Интерполяцией в вычислительной математике называют способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

5. Измерение углов. Понятие градус и радиан.

Углом 1 градус называется угол, составляющий 1/360 полного круга

Углом 1 радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной 1.

6. Соотношение между градусной и радианной мерой угла. Число П.

1 градус=П/180 радиан

Х градусов=х*П/180 радиан

1 радиан=180/П=57.3 грудсов

Храдиан=180*х/П

7.Основные определения и понятия сферической тригонометрии.

Сферой называется замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от одной точки — центра О сферы.

Большим кругом называется след на поверхности сферы, который образуется при сечении ее плоскостью, проходящей через центр О.

Полюсом большого круга называется точка поверхности сферы, лежащая на прямой, которая проходит через центр О сферы перпендикулярно плоскости большого круга.

Сферическим радиусом большого круга является дуга другого большого круга, проходящая от полюса Р (Р') до той или иной точки заданного большого круга.

Дуги больших кругов (ДБК) обладают следующими свойствами: положение ДБК определяется двумя точками поверхности сферы (при условии, что эти точки не лежат на концах одного диаметра сферы); ДБК, заключенная между двумя точками сферы, является кратчайшим расстоянием между этими точками.

Из первого свойства следует, что через две точки поверхности сферы можно провести дугу большого круга и причем только одну. Вообще дуга большого круга играет на поверхности сферы такую же роль, как и прямая на плоскости.

Малым кругом называется след на поверхности сферы, образуемый в результате сечения ее плоскостью, не проходящей через центр О сферы.

Сферическим треугольником называется фигура на сфере, образованная тремя пересекающимися попарно дугами больших кругов. Во всех задачах задаются и определяются элементы такого сферического треугольника, каждая сторона которого ограничена пределами 180° (Эйлеров треугольник). У прямоугольного треугольника один из углов равен 90°. Четвертные – сферические треугольники у которых хотя бы одна сторона = 90˚.

8. Решени е сферических треугольников

.

13. Применение сферической тригонометрии в судовождении.

Ортодромия (ДБК) – линия кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, представляет собой наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки.

Локсодромия – линия постоянного курса.

Расчет начального курса (Kн) и ортодромического расстояния (Dо) при плавании из точки А в точку В можно выполнить, рассмотрев сферический треугольник образованный пересечением меридианов проходящих через эти точки и дуги большого круга соединяющей точки А и В.

14. Случайная величина.

Случайная величина — это величина, которая может принимать то или иное значение неизвестное до опыта. Под случайной величиной понимают всю совокупность значений, которые она может принимать.

Случайная величина называется дискретной, если все ее значения можно перечислить. Например, количество очков на гранях игрального кубика, погрешности в 0,1о при округлении поправки компаса.

Если случайная величина своими значениями заполняет некоторый числовой интервал, то она называется непрерывной. Например, площадь пробоины, время до первого отказа прибора.

15. Закон распределения случайных величин.

Поскольку случайная величина может принимать различные значения, важно знать, с какой вероятностью могут появляться те или иные ее значения. Зависимость между самой случайной величиной и вероятностью появления ее возможных значений называется законом распределения случайной величины.

При равномерном распределении все значения случайной величины равновероятны. Примером такого распределения может служить погрешность при округлении какого-либо числа.

Если на случайную величину действует множество факторов, ни один из которых не преобладает, то ее распределение подчиняется нормальному закону

При оценке доверительного интервала случайной величины, распределенной по нормальному закону, по малой выборке (от 2 до 20 измерений) применяется распределение Стьюдента

16. Систематические погрешности, варианты определения и исключения их результата.

Систематические погрешности — это погрешности, знак и величина которых в измерениях изменяется по определенному закону. Систематические погрешности появляются в результате